Методом бисекции с заданной точностью ε найти корень уравнения на заданном интервале. x3 – x2 – 5 = 0, (0,3), ε = 0.01

Другие предметы Университет Методы численного решения уравнений метод бисекции вычислительные методы корень уравнения заданная точность интервал ε = 0.01 x3 – x2 – 5 = 0 Новый

Для нахождения корня уравнения x³ - x² - 5 = 0 методом бисекции, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Определение функции

Сначала определим функцию, для которой мы ищем корень:

f(x) = x³ - x² - 5

Шаг 2: Проверка значений функции на концах интервала

Теперь подставим границы интервала (0, 3) в функцию f(x):

• f(0) = 0³ - 0² - 5 = -5
• f(3) = 3³ - 3² - 5 = 27 - 9 - 5 = 13

Так как f(0) < 0 и f(3) > 0, по теореме Больцано, в интервале (0, 3) существует хотя бы один корень.

Шаг 3: Начальные значения

Установим начальные значения:

• a = 0
• b = 3

Шаг 4: Итерации метода бисекции

Теперь будем выполнять итерации до тех пор, пока длина интервала не станет меньше заданной точности ε = 0.01.

Шаг 5: Вычисление средней точки и значений функции

В каждой итерации вычисляем:

• c = (a + b) / 2
• f(c)

Затем проверяем знак f(c):

• Если f(a) * f(c) < 0, то корень находится в интервале (a, c), и мы обновляем b = c.
• Если f(c) * f(b) < 0, то корень находится в интервале (c, b), и мы обновляем a = c.
• Если f(c) = 0, то c является корнем.

Шаг 6: Продолжаем итерации

Теперь выполним итерации:

1. Итерация 1:
   • c = (0 + 3) / 2 = 1.5
   • f(1.5) = 1.5³ - 1.5² - 5 = 3.375 - 2.25 - 5 = -4.875
   • f(0) * f(1.5) < 0, обновляем b = 1.5
2. Итерация 2:
   • c = (0 + 1.5) / 2 = 0.75
   • f(0.75) = 0.75³ - 0.75² - 5 = 0.421875 - 0.5625 - 5 = -5.140625
   • f(0) * f(0.75) < 0, обновляем b = 0.75
3. Итерация 3:
   • c = (0 + 0.75) / 2 = 0.375
   • f(0.375) = 0.375³ - 0.375² - 5 = 0.052734375 - 0.140625 - 5 = -5.0888671875
   • f(0) * f(0.375) < 0, обновляем b = 0.375
4. Итерация 4:
   • c = (0 + 0.375) / 2 = 0.1875
   • f(0.1875) = 0.1875³ - 0.1875² - 5 = 0.006591796875 - 0.03515625 - 5 = -5.028564453125
   • f(0) * f(0.1875) < 0, обновляем b = 0.1875
5. Итерация 5:
   • c = (0 + 0.1875) / 2 = 0.09375
   • f(0.09375) = 0.09375³ - 0.09375² - 5 = 0.000873565673828125 - 0.0087890625 - 5 = -5.007915496826172
   • f(0) * f(0.09375) < 0, обновляем b = 0.09375
6. Итерация 6:
   • c = (0 + 0.09375) / 2 = 0.046875
   • f(0.046875) = 0.046875³ - 0.046875² - 5 = 0.00010395050048828125 - 0.002197265625 - 5 = -5.002093315124512
   • f(0) * f(0.046875) < 0, обновляем b = 0.046875

Продолжая этот процесс, мы будем сужать интервал, пока |b - a| < ε.

Шаг 7: Получение результата

В конце концов, когда достигнем нужной точности, значение c будет являться приближенным корнем уравнения.

Таким образом, мы можем найти корень уравнения x³ - x² - 5 = 0 в интервале (0, 3) с заданной точностью ε = 0.01.