Метод бисекции, или метод деления пополам, является численным методом, используемым для нахождения корней уравнения на заданном интервале. Он основан на принципе промежуточного значения, который утверждает, что если функция непрерывна на интервале и принимает значения разных знаков на концах этого интервала, то на этом интервале существует хотя бы один корень.

Давайте подробно разберем шаги решения задачи для уравнения x^5 + 2x - 8 = 0 на интервале (1, 1.5) с точностью ε = 0.01.

1. Проверка значений функции на концах интервала:
   • Вычисляем значение функции в точке x = 1: f(1) = 1^5 + 2*1 - 8 = 1 + 2 - 8 = -5.
   • Вычисляем значение функции в точке x = 1.5: f(1.5) = 1.5^5 + 2*1.5 - 8 = 7.59375 + 3 - 8 = 2.59375.

   Значения функции на концах интервала имеют разные знаки, следовательно, на интервале (1, 1.5) существует хотя бы один корень.

2. Начало процесса бисекции:
   • Вычисляем середину интервала: m = (1 + 1.5) / 2 = 1.25.
   • Вычисляем значение функции в точке m: f(1.25) = 1.25^5 + 2*1.25 - 8 = 3.0517578125 + 2.5 - 8 = -2.4482421875.

   Поскольку f(1.25) < 0, корень находится в интервале (1.25, 1.5).

3. Уточнение интервала:
   • Вычисляем новую середину: m = (1.25 + 1.5) / 2 = 1.375.
   • Вычисляем значение функции в точке m: f(1.375) = 1.375^5 + 2*1.375 - 8 = 4.979248046875 + 2.75 - 8 = -0.270751953125.

   Поскольку f(1.375) < 0, корень находится в интервале (1.375, 1.5).

4. Продолжение процесса:
   • Вычисляем новую середину: m = (1.375 + 1.5) / 2 = 1.4375.
   • Вычисляем значение функции в точке m: f(1.4375) = 1.4375^5 + 2*1.4375 - 8 = 6.2469482421875 + 2.875 - 8 = 1.1219482421875.

   Поскольку f(1.4375) > 0, корень находится в интервале (1.375, 1.4375).

5. Уточнение интервала:
   • Вычисляем новую середину: m = (1.375 + 1.4375) / 2 = 1.40625.
   • Вычисляем значение функции в точке m: f(1.40625) = 1.40625^5 + 2*1.40625 - 8 = 5.596466064453125 + 2.8125 - 8 = 0.408966064453125.

   Поскольку f(1.40625) > 0, корень находится в интервале (1.375, 1.40625).

6. Продолжение процесса:
   • Вычисляем новую середину: m = (1.375 + 1.40625) / 2 = 1.390625.
   • Вычисляем значение функции в точке m: f(1.390625) = 1.390625^5 + 2*1.390625 - 8 = 5.28564453125 + 2.78125 - 8 = 0.06689453125.

   Поскольку f(1.390625) > 0, корень находится в интервале (1.375, 1.390625).

7. Уточнение интервала:
   • Вычисляем новую середину: m = (1.375 + 1.390625) / 2 = 1.3828125.
   • Вычисляем значение функции в точке m: f(1.3828125) = 1.3828125^5 + 2*1.3828125 - 8 = 5.13238525390625 + 2.765625 - 8 = -0.10198974609375.

   Поскольку f(1.3828125) < 0, корень находится в интервале (1.3828125, 1.390625).

8. Окончание процесса:
   • Интервал (1.3828125, 1.390625) имеет длину менее 0.01, следовательно, мы достигли заданной точности.
   • Принимаем середину этого интервала как приближенное значение корня: x ≈ 1.38671875.

Таким образом, приближенное значение корня уравнения x^5 + 2x - 8 = 0 на интервале (1, 1.5) с точностью ε = 0.01 равно 1.38671875.