Чтобы найти наибольшее значение функции y = x^7 + 5x^3 - 16 на отрезке [-9; 1], необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. Это нужно для определения критических точек, где функция может достигать экстремумов. Производная функции y = x^7 + 5x^3 - 16 будет:
   • y' = 7x^6 + 15x^2.
2. Найти критические точки. Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение:
   • 7x^6 + 15x^2 = 0.
   • Вынесем общий множитель x^2 за скобки: x^2(7x^4 + 15) = 0.
   • Решим уравнение: x^2 = 0 или 7x^4 + 15 = 0.
   • Из x^2 = 0 получаем x = 0.
   • Уравнение 7x^4 + 15 = 0 не имеет действительных решений, так как 7x^4 = -15, а x^4 не может быть отрицательным числом.
3. Проверить значения функции в критических точках и на концах отрезка. Нам нужно вычислить значения функции в точках x = -9, x = 0 и x = 1:
   • y(-9) = (-9)^7 + 5(-9)^3 - 16 = -4782969 - 3645 - 16 = -4786630.
   • y(0) = 0^7 + 5*0^3 - 16 = -16.
   • y(1) = 1^7 + 5*1^3 - 16 = 1 + 5 - 16 = -10.
4. Сравнить найденные значения. Теперь сравним значения функции в критических точках и на концах интервала:
   • y(-9) = -4786630.
   • y(0) = -16.
   • y(1) = -10.
   Наибольшее значение функции на отрезке [-9; 1] равно -10 при x = 1.

Таким образом, наибольшее значение функции на заданном отрезке равно -10.