Давайте проанализируем функцию f(x, y) = x⁴ - 4xy + y² и найдем точку локального минимума. Для этого нам нужно использовать метод критических точек и вторую производную для определения природы этих точек.

Шаг 1: Найдите частные производные функции.

• Частная производная по x: f_x(x, y) = 4x³ - 4y
• Частная производная по y: f_y(x, y) = -4x + 2y

Шаг 2: Найдите критические точки.

Критические точки находятся из условия, что обе частные производные равны нулю:

1. 4x³ - 4y = 0
2. -4x + 2y = 0

Решим систему уравнений:

1. Из второго уравнения: y = 2x
2. Подставим y = 2x в первое уравнение: 4x³ - 4(2x) = 0, что упрощается до 4x³ - 8x = 0
3. Разделим на 4: x³ - 2x = 0
4. Вынесем x за скобки: x(x² - 2) = 0
5. Отсюда x = 0 или x² = 2, что дает x = 0, x = √2 или x = -√2

Теперь найдем соответствующие значения y:

• Для x = 0: y = 2(0) = 0, точка (0, 0)
• Для x = √2: y = 2(√2) = 2√2, точка (√2, 2√2)
• Для x = -√2: y = 2(-√2) = -2√2, точка (-√2, -2√2)

Шаг 3: Используйте вторые производные для проверки на минимум.

Вычислим вторые частные производные:

• f_xx = 12x²
• f_yy = 2
• f_xy = -4

Определитель матрицы Гессе (H) равен:

H = f_xxf_yy - (f_xy)² = 12x² * 2 - (-4)² = 24x² - 16

Проверим каждую критическую точку:

• Для точки (0, 0): H = 24(0)² - 16 = -16 (отрицательное значение, значит это седловая точка)
• Для точки (√2, 2√2): H = 24(√2)² - 16 = 24*2 - 16 = 48 - 16 = 32 (положительное значение и f_xx = 12(√2)² = 24 > 0, значит это локальный минимум)
• Для точки (-√2, -2√2): H = 24(-√2)² - 16 = 32 (положительное значение и f_xx = 24 > 0, значит это локальный минимум)

Таким образом, точками локального минимума являются (√2, 2√2) и (-√2, -2√2).