Похожие вопросы
2025-09-04 17:59:41
Найдите площадь области, ограниченной кривой y = 1/4 x^3, прямыми x = -4, x = -2 и осью Ох
- 17
- 1/4
- 1
- 0
Другие предметы Университет Интегрирование площадь области кривая y = 1/4 x^3 прямые x = -4 x = -2 ось Ох высшая математика университет интегралы ограниченная область математический анализ
2025-09-04 17:59:49
Для нахождения площади области, ограниченной кривой y = (1/4)x^3, прямыми x = -4, x = -2 и осью OX, необходимо выполнить следующие шаги:
-
Определение функции и границ интегрирования:
Наша функция: y = (1/4)x^3. Границы интегрирования: x = -4 и x = -2.
-
Нахождение площади области:
Площадь области, ограниченной кривой и прямыми, можно найти с помощью определенного интеграла:
Площадь S = ∫[a, b] f(x) dx, где f(x) = (1/4)x^3, a = -4, b = -2.
-
Вычисление интеграла:
Теперь мы можем вычислить интеграл:
∫[−4,−2] (1/4)x^3 dx.
Сначала найдем неопределенный интеграл:
∫ (1/4)x^3 dx = (1/4) * (1/4)x^4 = (1/16)x^4 + C.
-
Подстановка пределов интегрирования:
Теперь подставим пределы:
S = [(1/16)(-2)^4 - (1/16)(-4)^4].
-
Вычисление значений:
Сначала вычислим значения:
- (-2)^4 = 16, следовательно, (1/16)(-2)^4 = (1/16) * 16 = 1.
- (-4)^4 = 256, следовательно, (1/16)(-4)^4 = (1/16) * 256 = 16.
Теперь подставим эти значения в формулу:
S = 1 - 16 = -15.
-
Нахождение площади:
Площадь не может быть отрицательной, поэтому мы берем модуль:
Площадь S = |−15| = 15.
Таким образом, площадь области, ограниченной кривой y = (1/4)x^3, прямыми x = -4, x = -2 и осью OX, равна 15.