Найдите предел lim (1 + 3 / x)³ˣ, x -> ∞

Другие предметы Университет Пределы функций предел математический анализ lim 1 + 3/x x стремится к бесконечности Новый

Чтобы найти предел lim (1 + 3 / x)³ˣ при x стремящемся к бесконечности, давайте рассмотрим выражение внутри предела.

1. Сначала обратим внимание на то, как ведет себя выражение (1 + 3 / x) при x, стремящемся к бесконечности:

• Когда x → ∞, 3 / x → 0.
• Следовательно, 1 + 3 / x → 1.

2. Теперь мы можем записать предел в более удобной форме:

lim (1 + 3 / x)³ˣ = lim (1 + 3 / x)^(x * (3/x)) = lim [(1 + 3/x)^(3/x)]^x.

3. Теперь нам нужно найти предел (1 + 3/x)^(3/x) при x → ∞. Это выражение имеет вид, который мы можем преобразовать с помощью известного предела:

lim (1 + 1/n)^n = e, когда n → ∞.

4. В нашем случае, подставляя n = x/3, мы получаем:

• lim (1 + 3/x)^(3/x) = e^1 = e.

5. Теперь мы можем подставить это значение обратно в наш предел:

lim (1 + 3 / x)³ˣ = lim [(1 + 3/x)^(3/x)]^x = (e)^x.

6. Но так как x стремится к бесконечности, e^x также стремится к бесконечности:

lim (1 + 3 / x)³ˣ = ∞.

Ответ: Предел lim (1 + 3 / x)³ˣ при x → ∞ равен ∞.