Вычислите предел по правилу Лопиталя lim (cos7x - 1) / (cos3x - 1), x⟶0

Другие предметы Университет Пределы функций предел по правилу Лопиталя математический анализ университет лимит функции косинус вычисление предела x стремится к нулю Новый

Чтобы вычислить предел lim (cos(7x) - 1) / (cos(3x) - 1) при x стремящемся к 0, мы можем использовать правило Лопиталя. Это правило применяется, когда предел имеет неопределенную форму 0/0 или ∞/∞.

1. Сначала подставим x = 0 в выражение:

• cos(7*0) - 1 = cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0
• cos(3*0) - 1 = cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0

Таким образом, мы имеем форму 0/0, что позволяет нам применить правило Лопиталя.

2. Применим правило Лопиталя, которое гласит, что если предел имеет форму 0/0, то:

lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x)), при условии, что предел правой части существует.

Теперь найдем производные числителя и знаменателя:

• Числитель: f(x) = cos(7x) - 1. Найдем f'(x):
• f'(x) = -7sin(7x)
• Знаменатель: g(x) = cos(3x) - 1. Найдем g'(x):
• g'(x) = -3sin(3x)

3. Теперь подставим производные в предел:

lim (cos(7x) - 1) / (cos(3x) - 1) = lim (-7sin(7x)) / (-3sin(3x)) = lim (7sin(7x) / 3sin(3x)).

4. Теперь снова подставим x = 0:

• sin(7*0) = sin(0) = 0
• sin(3*0) = sin(0) = 0

Мы снова получаем форму 0/0, поэтому можем снова применить правило Лопиталя.

5. Применим правило Лопиталя еще раз:

• f'(x) = 7cos(7x)
• g'(x) = 3cos(3x)

6. Подставим производные в предел:

lim (7cos(7x) / 3cos(3x))

7. Подставляем x = 0:

• cos(7*0) = cos(0) = 1
• cos(3*0) = cos(0) = 1

Таким образом, мы получаем:

lim (7*1 / 3*1) = 7/3.

Ответ: Предел равен 7/3.