Похожие вопросы
2025-03-10 22:25:03
Найдите предел lim (√(1 + 3x) - √(2x + 6)) / (x² - 5x), x -> 5
Другие предметы Университет Пределы функций предел математический анализ университет вычисление предела лимит функции задачи по математическому анализу предел функции предел при x стремящемся к 5
2025-07-19 16:09:17
Чтобы найти предел выражения при x, стремящемся к 5, сначала подставим x = 5 в выражение:
- Числитель: √(1 + 3 * 5) - √(2 * 5 + 6) = √16 - √16 = 0
- Знаменатель: 5² - 5 * 5 = 25 - 25 = 0
Мы видим, что получаем неопределенность вида 0/0. В таких случаях мы можем попробовать использовать метод рационализации числителя.
- Умножим и разделим выражение на сопряженное выражение числителя: (√(1 + 3x) + √(2x + 6)). Это поможет избавиться от корней в числителе.
Теперь преобразуем выражение:
(√(1 + 3x) - √(2x + 6)) / (x² - 5x) * (√(1 + 3x) + √(2x + 6)) / (√(1 + 3x) + √(2x + 6))
Числитель теперь можно упростить как разность квадратов:
- (√(1 + 3x))² - (√(2x + 6))² = (1 + 3x) - (2x + 6) = 3x - 2x + 1 - 6 = x - 5
Итак, выражение становится:
(x - 5) / (x² - 5x) * (√(1 + 3x) + √(2x + 6))
Теперь сократим (x - 5) в числителе и знаменателе:
- Знаменатель: x² - 5x = x(x - 5)
После сокращения получаем:
1 / x * (√(1 + 3x) + √(2x + 6))
Теперь можем подставить x = 5 в оставшееся выражение:
- 1 / 5 * (√(1 + 3*5) + √(2*5 + 6)) = 1 / 5 * (√16 + √16) = 1 / 5 * (4 + 4) = 1 / 5 * 8 = 8 / 5
Таким образом, предел равен 8/5.
