Похожие вопросы
2025-09-04 18:03:38
Найдите предел lim (√(1 + 3x) – √(2x + 6)) / (x² – 5x), при x ⟶ 5
- 1/40
- −1/40
- ∞
- 2
Другие предметы Университет Пределы функций предел высшая математика предел функции предел при x стремящемся университет математика предел lim вычисление предела математический анализ предел корней предел дроби предел при x равном 5
2025-09-04 18:03:53
Чтобы найти предел lim (√(1 + 3x) – √(2x + 6)) / (x² – 5x) при x → 5, сначала подставим x = 5 в выражение. Это поможет нам определить, является ли предел определенным или неопределенным.
Подставляем x = 5:
- В числителе: √(1 + 3*5) – √(2*5 + 6) = √(1 + 15) – √(10 + 6) = √16 – √16 = 4 – 4 = 0.
- В знаменателе: 5² – 5*5 = 25 – 25 = 0.
Мы получили неопределенность вида 0/0. В таких случаях мы можем применить метод Лопиталя, который гласит, что если предел имеет форму 0/0 или ∞/∞, то мы можем взять производные числителя и знаменателя и снова найти предел.
Теперь найдем производные:
- Числитель: f(x) = √(1 + 3x) – √(2x + 6).
- Производная f'(x) = (3/(2√(1 + 3x))) – (2/(2√(2x + 6))) = (3/(2√(1 + 3x))) – (1/√(2x + 6)).
- Знаменатель: g(x) = x² – 5x.
- Производная g'(x) = 2x – 5.
Теперь подставим x = 5 в производные:
- f'(5) = (3/(2√(1 + 15))) – (1/√(10 + 6)) = (3/(2√16)) – (1/√16) = (3/8) – (1/4) = (3/8) – (2/8) = 1/8.
- g'(5) = 2*5 – 5 = 10 – 5 = 5.
Теперь можем найти предел:
lim (√(1 + 3x) – √(2x + 6)) / (x² – 5x) = f'(5) / g'(5) = (1/8) / 5 = 1/40.
Таким образом, предел равен 1/40.