Найдите предел lim (1 – cos6x) / x², при x ⟶ 0
Другие предметы Университет Пределы функций предел высшая математика университет лимит cos6x x при x → 0 математический анализ Новый
Чтобы найти предел lim (1 – cos(6x)) / x² при x → 0, воспользуемся некоторыми известными свойствами пределов и разложением функции косинуса в ряд Тейлора.
Шаг 1: Разложение косинуса
Функция косинуса может быть разложена в ряд Тейлора около нуля:
Подставим 6x вместо x:
где O(x⁴) обозначает члены порядка x⁴ и выше, которые стремятся к нулю быстрее, чем x² при x → 0.
Шаг 2: Подставляем в предел
Теперь подставим это разложение в наш предел:
Таким образом, мы можем переписать наш предел:
Шаг 3: Упрощаем предел
Теперь упростим дробь:
При x → 0, O(x²)/x² стремится к 0, поэтому мы получаем:
Ответ: Предел lim (1 – cos(6x)) / x² при x → 0 равен 9.