Найдите предел lim (1 – cos6x) / x², при x ⟶ 0

1. 18
2. −18
3. 2/9
4. −2/9

Другие предметы Университет Пределы функций предел высшая математика университет лимит cos6x x при x → 0 математический анализ Новый

Чтобы найти предел lim (1 – cos(6x)) / x² при x → 0, воспользуемся некоторыми известными свойствами пределов и разложением функции косинуса в ряд Тейлора.

Шаг 1: Разложение косинуса

Функция косинуса может быть разложена в ряд Тейлора около нуля:

• cos(x) = 1 - x²/2 + x⁴/24 - ...

Подставим 6x вместо x:

• cos(6x) = 1 - (6x)²/2 + O(x⁴)

где O(x⁴) обозначает члены порядка x⁴ и выше, которые стремятся к нулю быстрее, чем x² при x → 0.

Шаг 2: Подставляем в предел

Теперь подставим это разложение в наш предел:

• 1 - cos(6x) = 1 - (1 - 18x²/2 + O(x⁴)) = 18x²/2 - O(x⁴) = 9x² - O(x⁴)

Таким образом, мы можем переписать наш предел:

• lim (1 - cos(6x)) / x² = lim (9x² - O(x⁴)) / x²

Шаг 3: Упрощаем предел

Теперь упростим дробь:

• lim (9 - O(x²)/x²)

При x → 0, O(x²)/x² стремится к 0, поэтому мы получаем:

• lim (9 - 0) = 9

Ответ: Предел lim (1 – cos(6x)) / x² при x → 0 равен 9.