Найдите предел lim (1 − cos6x) / x², x -> 0

Другие предметы Университет Пределы функций предел математический анализ лимит cos x 0 вычисление предела университетская математика анализ функций Новый

Чтобы найти предел lim (1 − cos(6x)) / x² при x → 0, мы можем использовать некоторые известные свойства пределов и разложения функции косинуса.

Во-первых, заметим, что при x → 0 выражение cos(6x) стремится к 1. Поэтому, в числителе у нас получается 1 - 1 = 0, а в знаменателе x² также стремится к 0. Это приводит нас к неопределенности вида 0/0. Чтобы решить эту проблему, мы можем воспользоваться разложением функции косинуса в ряд Тейлора.

Рассмотрим разложение косинуса:

• cos(t) = 1 - t²/2 + t⁴/24 - ... (для t, стремящегося к 0)

Подставим t = 6x:

• cos(6x) = 1 - (6x)²/2 + O(x⁴) (где O(x⁴) обозначает члены, содержащие x в степени 4 и выше)

Теперь подставим это разложение в наш предел:

• 1 - cos(6x) = 1 - (1 - (6x)²/2 + O(x⁴)) = (6x)²/2 - O(x⁴)

Таким образом, мы можем выразить предел следующим образом:

• lim (1 − cos(6x)) / x² = lim ((6x)²/2 - O(x⁴)) / x²

Теперь упростим дробь:

• lim ((36x²/2) - O(x⁴)) / x² = lim (18 - O(x²))

Когда x стремится к 0, O(x²) стремится к 0, и мы получаем:

• lim (18 - O(x²)) = 18

Таким образом, предел lim (1 − cos(6x)) / x² при x → 0 равен:

18