Найдите предел lim (1 – cos8x) / x², при x ⟶ 0

• 32
• 0
• ∞
• 16

Другие предметы Университет Пределы функций предел функции высшая математика университет лимит cos предел при x стремящемся к 0 математический анализ Новый

Чтобы найти предел lim (1 – cos(8x)) / x² при x → 0, мы можем воспользоваться некоторыми свойствами пределов и известными тригонометрическими пределами.

Первый шаг — это применение разложения косинуса. Мы знаем, что для малых значений x можно использовать разложение косинуса в ряд Тейлора:

• cos(x) ≈ 1 - x²/2 + O(x^4), где O(x^4) — это члены более высокого порядка.

В нашем случае, мы имеем cos(8x). Подставим 8x вместо x в разложение:

• cos(8x) ≈ 1 - (8x)²/2 + O((8x)^4) = 1 - 32x² + O(x^4).

Теперь подставим это выражение в наш предел:

1 - cos(8x) ≈ 1 - (1 - 32x² + O(x^4)) = 32x² - O(x^4).

Таким образом, мы можем переписать наш предел:

lim (1 – cos(8x)) / x² = lim (32x² - O(x^4)) / x².

Теперь разделим каждое слагаемое на x²:

• lim (32 - O(x^2)/x²) = lim (32 - O(1)).

Когда x стремится к 0, O(x²)/x² также стремится к 0. Таким образом, мы получаем:

lim (32 - O(1)) = 32.

Следовательно, предел lim (1 – cos(8x)) / x² при x → 0 равен:

32