Найдите предел lim ((2 + x) / (3 + x))ˣ, x⟶∞

• 1) 0
• 2) −1
• 3) ∞
• 4) 1/e

Другие предметы Университет Пределы функций предел высшая математика лимит функции университетская математика предел при x стремящемся к бесконечности математический анализ Новый

Чтобы найти предел lim ((2 + x) / (3 + x))ˣ при x стремящемся к бесконечности, давайте разберем этот предел по шагам.

1. Определим выражение: У нас есть выражение ((2 + x) / (3 + x))ˣ. Мы можем упростить дробь внутри лимита.
2. Упрощение дроби: Когда x стремится к бесконечности, члены 2 и 3 становятся незначительными по сравнению с x. Поэтому можем записать:
   • ((2 + x) / (3 + x)) = (x(1 + 2/x)) / (x(1 + 3/x)) = (1 + 2/x) / (1 + 3/x).
3. Теперь рассмотрим предел дроби: При x → ∞, 2/x → 0 и 3/x → 0, следовательно:
   • lim (1 + 2/x) / (1 + 3/x) = 1/1 = 1.
4. Теперь подставим это в исходное выражение: Мы получаем, что ((2 + x) / (3 + x)) стремится к 1, когда x стремится к бесконечности. Таким образом, мы можем записать:
   • lim ((2 + x) / (3 + x))ˣ = lim (1)ˣ = 1.
5. Теперь давайте рассмотрим предел в более общем виде: Если мы записываем это как e^(x * ln((2 + x) / (3 + x))), то нам нужно найти предел:
   • lim x * ln((2 + x) / (3 + x)).
6. Используем логарифм: Мы знаем, что ln(a/b) = ln(a) - ln(b), поэтому:
   • ln((2 + x) / (3 + x)) = ln(2 + x) - ln(3 + x).
7. Теперь рассмотрим предел: lim x * (ln(2 + x) - ln(3 + x)). Мы можем использовать правило Лопиталя, если получим неопределенность вида ∞ - ∞:
   • lim x * (ln(2 + x) - ln(3 + x)) = lim x * ln((2 + x)/(3 + x)).
   • При x → ∞, это будет lim x * ln(1) = 0.
8. Таким образом, предел: lim x * ln((2 + x) / (3 + x)) = 0.
9. Итак, возвращаясь к нашему выражению: e^(lim x * ln((2 + x) / (3 + x))) = e^0 = 1.
10. Ответ: Предел lim ((2 + x) / (3 + x))ˣ при x стремящемся к бесконечности равен 1.

Ответ: 1