Похожие вопросы
2025-03-18 01:55:13
Найдите предел lim ((2 + x) / (3 + x))ˣ, x -> ∞
Другие предметы Университет Пределы функций предел математический анализ университет лимит функция бесконечность x дробь анализ функций
2025-07-21 00:11:15
Чтобы найти предел выражения (2 + x) / (3 + x))^x при x стремящемся к бесконечности, мы можем воспользоваться логарифмированием. Это один из методов, который упрощает работу с выражениями, содержащими степени.
- Начнем с логарифмирования выражения: пусть y = ((2 + x) / (3 + x))^x.
- Возьмем натуральный логарифм от обеих частей: ln(y) = ln(((2 + x) / (3 + x))^x).
- Используем свойство логарифма: ln(y) = x * ln((2 + x) / (3 + x)).
Теперь найдем предел от выражения ln(y) при x стремящемся к бесконечности:
- Рассмотрим выражение ln((2 + x) / (3 + x)).
- При x стремящемся к бесконечности, (2 + x) / (3 + x) можно приближенно записать как (x + 2)/(x + 3).
- Поделим числитель и знаменатель на x: (1 + 2/x) / (1 + 3/x).
- При x стремящемся к бесконечности, 2/x и 3/x стремятся к нулю, поэтому (1 + 2/x) / (1 + 3/x) стремится к 1.
- Следовательно, ln((2 + x) / (3 + x)) стремится к ln(1), а ln(1) = 0.
Теперь вернемся к пределу ln(y):
- Поскольку ln((2 + x) / (3 + x)) стремится к 0, то ln(y) = x * ln((2 + x) / (3 + x)) также стремится к x * 0 = 0.
- Следовательно, предел ln(y) при x стремящемся к бесконечности равен 0.
Итак, мы нашли, что ln(y) стремится к 0, когда x стремится к бесконечности. Теперь нужно перейти обратно к y:
- Так как ln(y) стремится к 0, то y стремится к e^0.
- e^0 = 1.
Таким образом, предел lim ((2 + x) / (3 + x))^x при x стремящемся к бесконечности равен 1.
