Найдите предел lim tg15x / sin3x, x -> 0

Другие предметы Университет Пределы функций предел математический анализ tg15x sin3x x стремится к 0 университетская математика Новый

Чтобы найти предел lim (tg(15x) / sin(3x)) при x -> 0, мы можем воспользоваться некоторыми свойствами тригонометрических функций и их пределов.

Во-первых, вспомним, что при x, стремящемся к 0, функции tg(x) и sin(x) имеют следующие приближения:

• tg(x) = sin(x) / cos(x)
• sin(x) приближается к x.

Таким образом, мы можем переписать наш предел:

lim (tg(15x) / sin(3x)) = lim (sin(15x) / (cos(15x) * sin(3x)))

Теперь подставим приближения для sin(15x) и sin(3x):

• sin(15x) приближается к 15x, когда x стремится к 0.
• sin(3x) приближается к 3x, когда x стремится к 0.

Теперь можем подставить эти приближения в предел:

lim (sin(15x) / (cos(15x) * sin(3x))) = lim (15x / (cos(15x) * 3x))

Теперь мы можем сократить x в числителе и знаменателе:

lim (15 / (cos(15x) * 3))

Теперь, когда x стремится к 0, cos(15x) стремится к cos(0), что равно 1. Таким образом, наш предел становится:

lim (15 / (1 * 3)) = 15 / 3 = 5.

Итак, предел lim (tg(15x) / sin(3x)) при x -> 0 равен 5.