Чтобы найти предел выражения lim (tg(3x) / sin(5x)) при x стремящемся к 0, мы воспользуемся известными пределами и свойствами тригонометрических функций. Давайте разберем шаг за шагом:

1. Запишите известные пределы:
   • lim (sin(x) / x) = 1 при x -> 0
   • lim (tg(x) / x) = 1 при x -> 0
2. Преобразуйте исходное выражение:

   tg(3x) можно записать как sin(3x) / cos(3x). Таким образом, наше выражение становится (sin(3x) / (cos(3x) * sin(5x))).

3. Разделите на x в числителе и знаменателе:

   Теперь мы можем выразить это как (sin(3x) / 3x) * (3x / (cos(3x) * sin(5x))).

4. Используйте известные пределы:
   • lim (sin(3x) / 3x) = 1 при x -> 0, так как это аналогично lim (sin(u) / u) = 1, где u = 3x.
   • Теперь рассмотрим оставшуюся часть: (3x / (cos(3x) * sin(5x))).
   • Мы можем снова использовать известный предел для sin(5x): выразим его как (5x / 5x) и получим lim (sin(5x) / 5x) = 1 при x -> 0.
5. Объедините результаты:

   Теперь наше выражение можно представить как:

   • (sin(3x) / 3x) * (3x / (cos(3x) * (5x / 5x)))
   • Это упрощается до (1) * (3/5) * (1 / cos(3x)) при x -> 0.
6. Вычислите предел:

   При x -> 0, cos(3x) стремится к cos(0) = 1. Таким образом, наше выражение становится:

   • (3/5) * (1/1) = 3/5

Таким образом, предел lim (tg(3x) / sin(5x)) при x стремящемся к 0 равен 3/5.