Найдите предел lim x / sin10x, x⟶0

Другие предметы Университет Пределы функций предел математический анализ университет lim x / sin10x x→0 вычисление предела анализ функции Новый

Для нахождения предела lim x / sin(10x) при x стремящемся к 0, мы можем использовать некоторые свойства пределов и известные лимиты.

Шаг 1: Заметим, что при x стремящемся к 0, значение sin(10x) также стремится к 0. Это создает неопределенность вида 0/0, что позволяет нам использовать правило Лопиталя.

Шаг 2: Применим правило Лопиталя, которое гласит, что если у нас есть предел вида 0/0 или ∞/∞, то мы можем взять производные числителя и знаменателя:

• Числитель: производная от x равна 1.
• Знаменатель: производная от sin(10x) равна 10cos(10x) (по правилу цепочки).

Шаг 3: Теперь мы можем записать предел как:

lim (x → 0) x / sin(10x) = lim (x → 0) 1 / (10cos(10x)).

Шаг 4: Подставляем x = 0 в новое выражение:

1 / (10cos(10 * 0)) = 1 / (10cos(0)) = 1 / (10 * 1) = 1 / 10.

Шаг 5: Таким образом, предел lim x / sin(10x) при x стремящемся к 0 равен:

1/10