Похожие вопросы
2025-09-04 18:05:39
Найдите предел lim (x / (x + 6))ˣ, при x ⟶ ∞
- 1/e⁶
- 1/e
- -e⁶
- e⁶
Другие предметы Университет Пределы функций предел высшая математика предел функции лимит при x стремится к бесконечности университетская математика расчет предела математический анализ
2025-09-04 18:05:54
Для нахождения предела lim (x / (x + 6))ˣ при x ⟶ ∞, давайте сначала упростим выражение внутри предела.
Мы можем переписать дробь x / (x + 6) следующим образом:
- Разделим числитель и знаменатель на x:
- (x / (x + 6)) = (1 / (1 + 6/x)).
Теперь, когда x стремится к бесконечности, 6/x стремится к 0. Таким образом:
(1 / (1 + 6/x)) стремится к 1.
Теперь мы можем переписать предел:
lim (x / (x + 6))ˣ = lim (1 / (1 + 6/x))ˣ.
Теперь мы видим, что это выражение стремится к 1 в степени x, когда x стремится к бесконечности. Однако, чтобы более точно оценить, как это происходит, мы можем воспользоваться логарифмами:
Обозначим y = (x / (x + 6))ˣ. Тогда:
ln(y) = x * ln(1 / (1 + 6/x)) = x * ln(1) - x * ln(1 + 6/x).
Поскольку ln(1) = 0, остается:
ln(y) = -x * ln(1 + 6/x).
Теперь, используя разложение ln(1 + z) при малом z, мы можем записать:
ln(1 + 6/x) ≈ 6/x (при x → ∞).
Таким образом:
ln(y) ≈ -x * (6/x) = -6.
Теперь, возвращаясь к y:
y = e^(ln(y)) ≈ e^(-6).
Таким образом, предел lim (x / (x + 6))ˣ при x ⟶ ∞ равен e^(-6).
Итак, окончательный ответ:
lim (x / (x + 6))ˣ = 1/e⁶.