Чтобы найти угол между векторами α и b, воспользуемся формулой косинуса угла между векторами:

cos(φ) = (α • b) / (|α| * |b|),

где:

• α • b — скалярное произведение векторов α и b,
• |α| и |b| — длины векторов α и b.

Разберем задачу по шагам:

1. Запишем выражения для векторов:

Дано: α = 2m + 4n и b = m - n.

2. Вычислим скалярное произведение α • b:

Скалярное произведение векторов определяется как:

α • b = (2m + 4n) • (m - n).

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

α • b = 2m • m - 2m • n + 4n • m - 4n • n.

Теперь вычислим каждое из скалярных произведений:

• m • m = |m|² = 1 (так как m — единичный вектор),
• n • n = |n|² = 1 (так как n — единичный вектор),
• m • n = |m| * |n| * cos(120°) = 1 * 1 * (-1/2) = -1/2 (так как угол между m и n равен 120°, а cos(120°) = -1/2).

Подставим эти значения:

α • b = 2 * 1 - 2 * (-1/2) + 4 * (-1/2) - 4 * 1.

Упростим выражение:

α • b = 2 + 1 - 2 - 4 = -3.

3. Найдем длины векторов α и b:

Длина вектора находится по формуле:

|v| = √(v • v).

Для вектора α:

α • α = (2m + 4n) • (2m + 4n).

Раскроем скобки:

α • α = 4m • m + 8m • n + 16n • n.

Подставим значения:

α • α = 4 * 1 + 8 * (-1/2) + 16 * 1 = 4 - 4 + 16 = 16.

Следовательно, |α| = √16 = 4.

Для вектора b:

b • b = (m - n) • (m - n).

Раскроем скобки:

b • b = m • m - 2m • n + n • n.

Подставим значения:

b • b = 1 - 2 * (-1/2) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3.

Следовательно, |b| = √3.

4. Подставим значения в формулу косинуса угла:

Теперь у нас есть:

• α • b = -3,
• |α| = 4,
• |b| = √3.

Подставим в формулу:

cos(φ) = (α • b) / (|α| * |b|) = (-3) / (4 * √3) = -3 / (4√3).

Упростим дробь, домножив числитель и знаменатель на √3:

cos(φ) = -3√3 / 12 = -√3 / 4.

5. Найдем угол φ:

Из таблицы значений косинусов знаем, что если cos(φ) = -√3 / 4, то угол φ находится в пределах второго квадранта. Точное значение угла можно оставить как arccos(-√3 / 4).

Ответ: угол между векторами равен arccos(-√3 / 4).