Для того чтобы найти интервалы монотонного убывания функции y = x³ − 3x², нам нужно сначала найти производную этой функции и определить, где она отрицательна.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Функция y = x³ − 3x². Используем правила дифференцирования:

• Производная от x³ равна 3x².
• Производная от -3x² равна -6x.

Таким образом, производная функции будет:

y' = 3x² - 6x.

Шаг 2: Найдем критические точки.

Для этого приравняем производную к нулю:

3x² - 6x = 0.

Вынесем общий множитель:

3x(x - 2) = 0.

Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 2.

Шаг 3: Исследуем знаки производной.

Теперь нужно определить знаки производной на интервалах, образованных критическими точками. Рассмотрим интервалы:

• (-∞, 0)
• (0, 2)
• (2, +∞)

Теперь выберем по одной точке из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, 0): пусть x = -1. Подставляем: y'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 3 + 6 = 9 (положительно).
• Для интервала (0, 2): пусть x = 1. Подставляем: y'(1) = 3(1)² - 6(1) = 3 - 6 = -3 (отрицательно).
• Для интервала (2, +∞): пусть x = 3. Подставляем: y'(3) = 3(3)² - 6(3) = 27 - 18 = 9 (положительно).

Шаг 4: Определяем интервалы монотонного убывания.

Мы видим, что производная отрицательна на интервале (0, 2). Это означает, что функция убывает на этом интервале.

Ответ: Функция y = x³ − 3x² убывает на интервале (0, 2).