Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения ƒ(x) = 0. 1/(x + 1) – x = 0

Другие предметы Университет Метод Ньютона для нахождения корней уравнений метод Ньютона вычислительные методы корень уравнения погрешность 0.01 ƒ(x) = 0 университет численные методы Новый

Для нахождения корня уравнения ƒ(x) = 0 методом Ньютона, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Определение функции и её производной

Сначала запишем функцию, которую мы хотим решить:

ƒ(x) = 1/(x + 1) – x

Теперь найдем производную этой функции:

ƒ'(x) = -1/(x + 1)^2 - 1

Шаг 2: Выбор начального приближения

Метод Ньютона требует начального приближения. Давайте выберем начальное значение x0. Для этого можно проанализировать график функции или просто подставить несколько значений. Предположим, что мы выбрали x0 = 0.

Шаг 3: Применение метода Ньютона

Формула метода Ньютона выглядит следующим образом:

x_n+1 = x_n - ƒ(x_n) / ƒ'(x_n)

Шаг 4: Итерации

Теперь будем выполнять итерации, пока не достигнем необходимой точности (погрешность не превышает 0.01).

1. Первая итерация:
• Подставляем x0 = 0 в функцию: ƒ(0) = 1/(0 + 1) – 0 = 1
• Подставляем x0 = 0 в производную: ƒ'(0) = -1/(0 + 1)^2 - 1 = -2
• Теперь вычисляем x1: x1 = 0 - 1 / (-2) = 0.5
2. Вторая итерация:
• Теперь подставляем x1 = 0.5: ƒ(0.5) = 1/(0.5 + 1) – 0.5 = 0.0
• Подставляем x1 = 0.5 в производную: ƒ'(0.5) = -1/(0.5 + 1)^2 - 1 = -1.25
• Теперь вычисляем x2: x2 = 0.5 - 0.0 / (-1.25) = 0.5

Шаг 5: Проверка на сходимость

Теперь проверим, достигли ли мы необходимой точности:

|x2 - x1| = |0.5 - 0.5| = 0.0, что меньше 0.01.

Шаг 6: Результат

Мы нашли корень уравнения ƒ(x) = 0. С учетом погрешности, не превышающей 0.01, корень равен:

x ≈ 0.5.

Таким образом, корень уравнения 1/(x + 1) – x = 0 методом Ньютона с заданной точностью равен 0.5.