Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения ƒ(x) = 0.1/(x – 3) – x = 0

Другие предметы Университет Метод Ньютона для нахождения корней уравнений вычислительные методы метод Ньютона корень уравнения погрешность 0.01 ƒ(x) = 0.1/(x – 3) – x = 0 университет Новый

Для нахождения корня уравнения ƒ(x) = 0.1/(x – 3) – x = 0 методом Ньютона, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Определение функции и её производной

Сначала запишем функцию:

ƒ(x) = 0.1/(x – 3) – x

Теперь найдем производную этой функции. Используем правило дифференцирования дробей:

• ƒ'(x) = -0.1/(x - 3)² - 1

Шаг 2: Выбор начального приближения

Метод Ньютона требует начального приближения. Выберем начальное значение, например, x₀ = 4, так как это значение находится в области, где функция определена и, скорее всего, близко к корню.

Шаг 3: Применение метода Ньютона

Формула метода Ньютона выглядит следующим образом:

x₁ = x₀ - ƒ(x₀) / ƒ'(x₀)

Теперь будем итеративно вычислять значения x, пока разность между двумя последовательными значениями не станет меньше 0.01.

Шаг 4: Итерации

1. Подставляем x₀ = 4:
• ƒ(4) = 0.1/(4 - 3) - 4 = 0.1 - 4 = -3.9
• ƒ'(4) = -0.1/(4 - 3)² - 1 = -0.1 - 1 = -1.1
• Теперь вычисляем x₁:
• x₁ = 4 - (-3.9 / -1.1) = 4 - 3.5455 = 0.4545
2. Теперь подставим x₁:
• ƒ(0.4545) = 0.1/(0.4545 - 3) - 0.4545 = 0.1/(-2.5455) - 0.4545 ≈ -0.4547
• ƒ'(0.4545) = -0.1/(0.4545 - 3)² - 1 ≈ -0.1/(-2.5455)² - 1 ≈ -1.015
• Теперь вычисляем x₂:
• x₂ = 0.4545 - (-0.4547 / -1.015) ≈ 0.4545 - 0.4472 ≈ 0.0073
3. Продолжаем итерации, подставляя новое значение:
• ƒ(0.0073) = 0.1/(0.0073 - 3) - 0.0073 ≈ 0.1/(-2.9927) - 0.0073 ≈ -0.0073
• ƒ'(0.0073) = -0.1/(0.0073 - 3)² - 1 ≈ -1.00001
• x₃ = 0.0073 - (-0.0073 / -1.00001) ≈ 0.0073 - 0.0073 ≈ 0

Шаг 5: Проверка условия остановки

Мы продолжаем итерации до тех пор, пока |xₙ - xₙ₋₁| < 0.01. В данном случае, разность между x₂ и x₃ меньше 0.01, поэтому мы можем остановиться.

Результат

Таким образом, корень уравнения ƒ(x) = 0 с погрешностью, не превышающей 0.01, равен приблизительно 0.0073.