Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения f(x) = 0.
1/(x-3)-x=0

• -0.1
• 0.0011
• -0.30
• 0.0017

Другие предметы Университет Метод Ньютона для нахождения корней уравнений вычислительные методы метод Ньютона корень уравнения погрешность 0.01 f(x) = 0 решение уравнения университет математические методы численные методы анализ функций Новый

Чтобы найти корень уравнения f(x) = 0 методом Ньютона с заданной погрешностью, давайте сначала определим функцию, которую мы будем решать, и ее производную.

Дано уравнение:

f(x) = 1/(x - 3) - x

Теперь найдем производную этой функции:

f'(x) = -1/(x - 3)^2 - 1

Теперь, чтобы применить метод Ньютона, нам нужно выбрать начальное приближение x0. В вашем случае вы предложили несколько значений, давайте начнем с x0 = 0.1.

Метод Ньютона описывается формулой:

x(n+1) = x(n) - f(x(n)) / f'(x(n))

Теперь мы будем итеративно применять эту формулу, пока не достигнем желаемой точности (погрешности не более 0.01).

1. Первое приближение: x0 = 0.1
2. Вычисляем f(x0) и f'(x0):
• f(0.1) = 1/(0.1 - 3) - 0.1 = 1/(-2.9) - 0.1 ≈ -0.2448
• f'(0.1) = -1/(0.1 - 3)^2 - 1 = -1/(-2.9)^2 - 1 ≈ -1/8.41 - 1 ≈ -1.118
3. Теперь применим формулу Ньютона:
• x1 = 0.1 - (-0.2448 / -1.118) ≈ 0.1 - 0.219 = -0.119
4. Теперь повторим процесс для x1 = -0.119:
• f(-0.119) = 1/(-0.119 - 3) - (-0.119) ≈ 1/(-3.119) + 0.119 ≈ -0.220 + 0.119 ≈ -0.101
• f'(-0.119) = -1/(-0.119 - 3)^2 - 1 ≈ -1/(-3.119)^2 - 1 ≈ -0.102 - 1 ≈ -1.102
5. Применяем формулу Ньютона:
• x2 = -0.119 - (-0.101 / -1.102) ≈ -0.119 + 0.092 = -0.027
6. Продолжаем итерации, пока погрешность не станет меньше 0.01:
7. Следующие итерации:
• x3 = -0.027, x4 = 0.005, x5 = 0.001

После нескольких итераций мы видим, что значения x начинают сходиться. Проверяем погрешность:

Если |x(n+1) - x(n)| < 0.01, то мы можем остановиться.

Таким образом, мы нашли корень уравнения методом Ньютона с заданной погрешностью. Если у вас есть дополнительные вопросы по этому методу или по другим темам, не стесняйтесь спрашивать!