Метод Ньютона – это итерационный метод нахождения корней уравнений. Для решения уравнения f(x) = 0, где f(x) = exp(-x) + x - 2, мы будем использовать данный метод. Давайте разберем шаги решения.

Сначала нам необходимо найти производную функции f(x). Это нужно для применения метода Ньютона.

• f(x) = exp(-x) + x - 2
• f'(x) = -exp(-x) + 1

Метод Ньютона требует начального приближения. Мы можем взять значение, например, x0 = 1.5, так как мы знаем, что корень должен быть около 2.

Формула метода Ньютона выглядит следующим образом:

x_{n+1}= x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Теперь будем выполнять итерации до тех пор, пока не достигнем требуемой точности (погрешности не более 0.01).

1. Итерация 1:
• x0 = 1.5
• f(1.5) = exp(-1.5) + 1.5 - 2 ≈ -0.1813
• f'(1.5) = -exp(-1.5) + 1 ≈ 0.529
• x1 = 1.5 - (-0.1813 / 0.529) ≈ 1.5 + 0.342 ≈ 1.842
2. Итерация 2:
• x1 ≈ 1.842
• f(1.842) = exp(-1.842) + 1.842 - 2 ≈ -0.032
• f'(1.842) = -exp(-1.842) + 1 ≈ 0.435
• x2 = 1.842 - (-0.032 / 0.435) ≈ 1.842 + 0.074 ≈ 1.916
3. Итерация 3:
• x2 ≈ 1.916
• f(1.916) = exp(-1.916) + 1.916 - 2 ≈ -0.003
• f'(1.916) = -exp(-1.916) + 1 ≈ 0.372
• x3 = 1.916 - (-0.003 / 0.372) ≈ 1.916 + 0.008 ≈ 1.924
4. Итерация 4:
• x3 ≈ 1.924
• f(1.924) = exp(-1.924) + 1.924 - 2 ≈ 0.0005
• f'(1.924) = -exp(-1.924) + 1 ≈ 0.366
• x4 = 1.924 - (0.0005 / 0.366) ≈ 1.924 - 0.0014 ≈ 1.922

Теперь проверим, насколько изменилось значение x:

• |x4 - x3| = |1.922 - 1.924| = 0.002 < 0.01

Мы достигли требуемой точности. Таким образом, корень уравнения f(x) = 0, найденный методом Ньютона, примерно равен 1.922.