Чтобы найти корень уравнения f(x) = 0 с помощью метода Ньютона, сначала нужно определить функцию и её производную. В нашем случае у нас есть уравнение:

f(x) = -ln(3x) + x

Теперь найдем производную этой функции:

f'(x) = -1/(3x) * 3 + 1 = -1/x + 1 = 1 - 1/x

Теперь мы можем применить метод Ньютона. Метод Ньютона основан на итерационной формуле:

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Для начала выберем начальное приближение. Исходя из заданных значений, разумно взять начальное приближение x0 = 0.1.

Теперь мы можем начать итерации:

1. Вычисляем f(x0) и f'(x0):
• f(0.1) = -ln(3 * 0.1) + 0.1 = -ln(0.3) + 0.1 ≈ 0.203.
• f'(0.1) = 1 - 1/0.1 = 1 - 10 = -9.
2. Теперь подставим в формулу Ньютона:
• x1 = 0.1 - 0.203 / -9 ≈ 0.1 + 0.02256 ≈ 0.12256.

Теперь повторим итерацию с новым значением x1:

1. Вычисляем f(x1) и f'(x1):
• f(0.12256) = -ln(3 * 0.12256) + 0.12256 ≈ 0.0074.
• f'(0.12256) = 1 - 1/0.12256 ≈ -7.153.
2. Теперь подставим в формулу Ньютона:
• x2 = 0.12256 - 0.0074 / -7.153 ≈ 0.12256 + 0.00103 ≈ 0.12359.

Продолжим итерации, пока не достигнем необходимой точности (погрешность не должна превышать 0.01):

1. Вычисляем f(x2) и f'(x2):
• f(0.12359) ≈ -ln(3 * 0.12359) + 0.12359 ≈ 0.0004.
• f'(0.12359) = 1 - 1/0.12359 ≈ -7.061.
2. Теперь подставим в формулу Ньютона:
• x3 = 0.12359 - 0.0004 / -7.061 ≈ 0.12359 + 0.0000567 ≈ 0.12365.

Теперь мы можем проверить, достигли ли мы нужной точности:

Погрешность между x2 и x3 составляет:

|x3 - x2| = |0.12365 - 0.12359| = 0.00006, что меньше 0.01.

Таким образом, корень уравнения f(x) = 0 по методу Ньютона с погрешностью не превышающей 0.01 равен:

x ≈ 0.12365.