Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения ƒ(x) = 0.x – x3 – 5 = 0

Другие предметы Университет Метод Ньютона для нахождения корней уравнений метод Ньютона вычислительные методы корень уравнения погрешность 0.01 ƒ(x) = 0 университет математические методы численные методы Новый

Для решения уравнения ƒ(x) = 0.x – x^3 – 5 = 0 методом Ньютона, сначала необходимо определить функцию и её производную. Давайте сделаем это шаг за шагом.

Шаг 1: Определение функции и её производной

Функция, которую мы будем исследовать, имеет вид:

ƒ(x) = 0.x – x^3 – 5

Теперь найдем её производную:

ƒ'(x) = 0 - 3x^2 = -3x^2

Шаг 2: Выбор начального приближения

Метод Ньютона требует выбора начального приближения. Мы можем выбрать, например, x₀ = 2, так как при этом значении функция уже имеет отрицательное значение, а при x = 1 – положительное. Это значит, что корень находится между 1 и 2.

Шаг 3: Применение метода Ньютона

Формула для метода Ньютона выглядит следующим образом:

x₁ = x₀ - ƒ(x₀) / ƒ'(x₀)

Теперь мы будем итеративно применять эту формулу, пока не достигнем желаемой точности.

Шаг 4: Итерации

1. Первое приближение (x₀ = 2):
• ƒ(2) = 0.2 - 2^3 - 5 = 0.2 - 8 - 5 = -12.8
• ƒ'(2) = -3 * 2^2 = -12
• Теперь вычисляем x₁:
• x₁ = 2 - (-12.8 / -12) = 2 - 1.06667 ≈ 0.93333
2. Второе приближение (x₁ ≈ 0.93333):
• ƒ(0.93333) ≈ 0.09333 - 0.93333^3 - 5 ≈ -5.785
• ƒ'(0.93333) ≈ -3 * (0.93333)^2 ≈ -2.613
• x₂ = 0.93333 - (-5.785 / -2.613) ≈ 0.93333 - 2.210 ≈ -1.27667
3. Третье приближение (x₂ ≈ -1.27667):
• ƒ(-1.27667) ≈ 0.0.2 - (-1.27667)^3 - 5 ≈ -4.97
• ƒ'(-1.27667) ≈ -3 * (-1.27667)^2 ≈ -4.892
• x₃ = -1.27667 - (-4.97 / -4.892) ≈ -1.27667 - 1.013 ≈ -2.28967
4. Четвертое приближение (x₃ ≈ -2.28967):
• ƒ(-2.28967) ≈ 0.0.2 - (-2.28967)^3 - 5 ≈ -3.12
• ƒ'(-2.28967) ≈ -3 * (-2.28967)^2 ≈ -15.701
• x₄ = -2.28967 - (-3.12 / -15.701) ≈ -2.28967 - 0.198 ≈ -2.48767
5. Продолжаем итерации, пока |ƒ(x_n)| > 0.01.

Шаг 5: Остановка итераций

Продолжая итерации, мы можем остановиться, когда разница между двумя последовательными значениями станет меньше 0.01 или когда значение функции станет меньше 0.01 по модулю.

Таким образом, мы находим корень уравнения методом Ньютона с заданной точностью. После нескольких итераций мы получим значение корня, которое будет удовлетворять условиям задачи.