Похожие вопросы
2025-07-19 10:16:14
Найти предел lim (√(1 + x) − 1) / sin3x, x⟶0
- 0
- ∞
- 1
- 1/6
- 2
Другие предметы Университет Пределы функций предел высшая математика университет лимит синус математический анализ вычисление пределов x стремится к нулю
2025-07-19 10:16:31
Чтобы найти предел lim (√(1 + x) − 1) / sin(3x) при x → 0, давайте разберем эту задачу шаг за шагом.
1. **Подстановка предела:** Сначала подставим x = 0 в выражение. Мы получим:
- √(1 + 0) − 1 = √1 − 1 = 0
- sin(3 * 0) = sin(0) = 0
Таким образом, мы имеем неопределенность вида 0/0.
2. **Применение предельного перехода:** В таких случаях мы можем использовать правило Лопиталя, которое гласит, что если предел имеет вид 0/0 или ∞/∞, то мы можем взять производные числителя и знаменателя.
3. **Найдем производные:**
- Числитель: f(x) = √(1 + x) − 1. Найдем производную f'(x):
f'(x) = (1/2)(1 + x)^(-1/2) * 1 = 1 / (2√(1 + x)).
- Знаменатель: g(x) = sin(3x). Найдем производную g'(x):
g'(x) = 3cos(3x).
4. **Применяем правило Лопиталя:** Теперь мы можем записать предел:
lim (√(1 + x) − 1) / sin(3x) = lim (f'(x) / g'(x)) = lim (1 / (2√(1 + x)) / (3cos(3x)).
5. **Подставим x = 0 в производные:** Теперь подставим x = 0 в полученное выражение:
- f'(0) = 1 / (2√(1 + 0)) = 1 / 2
- g'(0) = 3cos(3 * 0) = 3cos(0) = 3
6. **Находим предел:** Теперь подставляем эти значения в предел:
lim (1 / (2√(1 + x)) / (3cos(3x)) = (1/2) / 3 = 1/6.
Таким образом, предел lim (√(1 + x) − 1) / sin(3x) при x → 0 равен 1/6.
