Похожие вопросы
2025-07-19 14:30:10
Найти предел lim (eªˣ − eᵇˣ) / sinx, x⟶0
- а + b
- ∞
- −∞
- а – b
- 1
Другие предметы Университет Пределы функций предел высшая математика университет лимит e в степени x синус x стремится к нулю математический анализ
2025-07-19 14:30:25
Чтобы найти предел lim (e^(a*x) − e^(b*x)) / sin(x) при x стремящемся к 0, начнем с анализа числителя и знаменателя этого выражения.
1. **Исследуем числитель:**
- При x → 0, e^(a*x) и e^(b*x) стремятся к 1, поэтому:
- e^(a*x) - e^(b*x) → 1 - 1 = 0.
2. **Исследуем знаменатель:**
- При x → 0, sin(x) также стремится к 0.
Таким образом, мы имеем неопределенность вида 0/0. Чтобы решить эту проблему, воспользуемся правилом Лопиталя, которое применяется в таких случаях.
3. **Применяем правило Лопиталя:**
- Нам нужно взять производные числителя и знаменателя:
- Числитель: производная от e^(a*x) - e^(b*x) будет a*e^(a*x) - b*e^(b*x).
- Знаменатель: производная от sin(x) будет cos(x).
Таким образом, применяя правило Лопиталя, мы получаем новый предел:
lim (a*e^(a*x) - b*e^(b*x)) / cos(x) при x → 0.
4. **Подставляем x = 0 в новое выражение:**
- При x = 0, e^(a*0) = 1 и e^(b*0) = 1, следовательно:
- Числитель: a*1 - b*1 = a - b.
- Знаменатель: cos(0) = 1.
Таким образом, предел будет равен:
lim (a - b) / 1 = a - b.
5. **Итог:**
Ответ: предел lim (e^(a*x) − e^(b*x)) / sin(x) при x → 0 равен a - b.
