Пусть дана система уравнений {3x + 2y − 4z = 8, 2x + 4y − 5z = 11, 4x − 3y + 2z = 1, тогда выражение x + y + z равно …

• 6
• 7
• 8

Другие предметы Университет Системы линейных уравнений высшая математика система уравнений университет решение уравнений математические задачи линейные уравнения x y z математические выражения подготовка к экзаменам университетская математика Новый

Для решения данной системы уравнений мы будем использовать метод подстановки или метод Гаусса. В данном случае мы рассмотрим метод Гаусса, который позволяет последовательно приводить систему к более простому виду.

Итак, у нас есть система уравнений:

• 1) 3x + 2y - 4z = 8
• 2) 2x + 4y - 5z = 11
• 3) 4x - 3y + 2z = 1

Сначала мы можем записать эту систему в виде матрицы коэффициентов:

• [3 2 -4 | 8]
• [2 4 -5 | 11]
• [4 -3 2 | 1]

Теперь мы будем приводить эту матрицу к ступенчатому виду. Начнем с первой строки и будем использовать её для обнуления элементов под первым элементом.

1. Умножим первую строку на 2 и вычтем из второй строки:
• 2 * (3x + 2y - 4z) = 2 * 8 => 6x + 4y - 8z = 16
• Теперь вычтем это из второй строки:
• (2x + 4y - 5z) - (6x + 4y - 8z) = 11 - 16
• Это дает нам: -4x + 3z = -5, или 4x - 3z = 5. (Обозначим это уравнение 4)
2. Теперь обнулим элемент под первым элементом в третьей строке. Умножим первую строку на 4 и вычтем из третьей строки:
• 4 * (3x + 2y - 4z) = 4 * 8 => 12x + 8y - 16z = 32
• (4x - 3y + 2z) - (12x + 8y - 16z) = 1 - 32
• Это дает нам: -8x - 11y + 18z = -31, или 8x + 11y - 18z = 31. (Обозначим это уравнение 5)

Теперь у нас есть новая система уравнений:

• 1) 3x + 2y - 4z = 8
• 4) 4x - 3z = 5
• 5) 8x + 11y - 18z = 31

Теперь мы можем выразить z из уравнения 4:

• 4x - 3z = 5 => 3z = 4x - 5 => z = (4x - 5)/3

Теперь подставим это значение z в уравнение 1 и 5:

Подставим в уравнение 1:

• 3x + 2y - 4((4x - 5)/3) = 8
• 3x + 2y - (16x - 20)/3 = 8
• Умножим все на 3, чтобы избавиться от дробей:
• 9x + 6y - 16x + 20 = 24
• -7x + 6y = 4, или 7x - 6y = -4. (Обозначим это уравнение 6)

Теперь подставим z в уравнение 5:

• 8x + 11y - 18((4x - 5)/3) = 31
• 8x + 11y - (72x - 90)/3 = 31
• Умножим все на 3:
• 24x + 33y - 72x + 90 = 93
• -48x + 33y = 3, или 48x - 33y = -3. (Обозначим это уравнение 7)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 6) 7x - 6y = -4
• 7) 48x - 33y = -3

Теперь мы можем решить эту систему. Умножим уравнение 6 на 11:

• 77x - 66y = -44

Теперь умножим уравнение 7 на 2:

• 96x - 66y = -6

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

• (96x - 66y) - (77x - 66y) = -6 + 44
• 19x = 38 => x = 2

Теперь подставим x = 2 в уравнение 6:

• 7(2) - 6y = -4
• 14 - 6y = -4 => -6y = -18 => y = 3

Теперь подставим x и y в выражение для z:

• z = (4(2) - 5)/3 = (8 - 5)/3 = 3/3 = 1

Теперь мы нашли все значения:

• x = 2
• y = 3
• z = 1

Теперь мы можем найти значение выражения x + y + z:

• x + y + z = 2 + 3 + 1 = 6

Ответ: x + y + z равно 6.