Решение матрич ур-й вида АХ=В Вывод формулы крамера для решения системы линейных ур-й с невырожденной квадратной матрицей.

Другие предметы Университет Системы линейных уравнений линейная алгебра аналитическая геометрия матричные уравнения формула Крамера Система линейных уравнений невырожденная матрица университет решение уравнений Новый

Для решения системы линейных уравнений вида AX = B, где A - квадратная матрица, X - вектор неизвестных, а B - вектор свободных членов, мы можем использовать метод Крамера, если матрица A невырожденная (то есть её определитель ненулевой).

Давайте пошагово рассмотрим, как выводится формула Крамера.

1. Определение определителя: Сначала вспомним, что для квадратной матрицы A определитель обозначается det(A) и если det(A) ≠ 0, то матрица A невырожденная.
2. Система уравнений: Рассмотрим систему уравнений, которая может быть записана в виде:
   • a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = b1
   • a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = b2
   • ...
   • an*x1 + an*x2 + ... + an*xn = bn
3. Формула Крамера: Мы хотим выразить каждую переменную xi через определители. Для этого мы заменим i-ю колонку матрицы A на вектор B и вычислим новый определитель. Формула для xi будет выглядеть следующим образом:
   • xi = det(Ai) / det(A),
   где Ai - это матрица, полученная из A заменой i-й колонки на вектор B.
4. Пример: Рассмотрим систему из двух уравнений:
   • a1*x1 + b1*x2 = c1
   • a2*x1 + b2*x2 = c2
   Матрица A будет:
   • A = [[a1, b1], [a2, b2]]
   Определитель A:
   • det(A) = a1*b2 - a2*b1.
   Теперь для x1:
   • заменяем первую колонку на вектор B:
   • A1 = [[c1, b1], [c2, b2]]
   • det(A1) = c1*b2 - c2*b1.
   Следовательно, x1 = det(A1) / det(A). Аналогично для x2:
   • заменяем вторую колонку:
   • A2 = [[a1, c1], [a2, c2]]
   • det(A2) = a1*c2 - a2*c1.
   Таким образом, x2 = det(A2) / det(A).

Таким образом, мы получили формулы для решения системы линейных уравнений методом Крамера. Этот метод применим только для невырожденных матриц, что гарантирует существование единственного решения системы.