Система линейных алгебраических уравнений. (СЛАУ). Различные формы записи СЛАУ. Совместность СЛАУ. Доказательство критерия Кронекера-
Капелли о совместности СЛАУ.

Другие предметы Университет Системы линейных уравнений Система линейных уравнений СЛАУ формы записи СЛАУ совместность СЛАУ критерий Кронекера-Капелли доказательство СЛАУ линейная алгебра аналитическая геометрия университетская программа методы решения СЛАУ Новый

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) представляет собой совокупность нескольких линейных уравнений, которые имеют общие переменные. Эти уравнения могут быть записаны в различных формах, и понимание этих форм является важным аспектом линейной алгебры.

Различные формы записи СЛАУ:

• Матричная форма: СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения Ax = b, где A — матрица коэффициентов, x — вектор переменных, b — вектор свободных членов.
• Векторная форма: СЛАУ можно представить как комбинацию векторов: c1*x1 + c2*x2 + ... + cn*xn = b, где ci — коэффициенты, а xi — переменные.
• Стандартная форма: Уравнения могут быть записаны в виде a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = b, где ai — коэффициенты при переменных.

Совместность СЛАУ:

Система линейных уравнений называется совместной, если существует хотя бы одно решение. Если решений нет, то система называется несовместной. Если решений бесконечно много, то система называется вырожденной.

Критерий Кронекера-Капелли:

Критерий Кронекера-Капелли позволяет определить совместность системы линейных уравнений. Он гласит:

• Система Ax = b совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов A равен рангу расширенной матрицы [A|b].
• Если ранг A равен рангу [A|b] и меньше числа переменных, то система имеет бесконечно много решений.
• Если ранг A меньше ранга [A|b], то система несовместна.

Доказательство критерия Кронекера-Капелли:

Доказательство данного критерия основано на свойствах линейных преобразований и ранга матриц. Рассмотрим следующую последовательность шагов:

1. Определим ранг матрицы A как максимальное число линейно независимых строк (или столбцов) в матрице.
2. Рассмотрим расширенную матрицу [A|b], которая включает в себя вектор свободных членов b.
3. Если ранг матрицы A равен рангу [A|b], это означает, что вектор b может быть представлен как линейная комбинация строк матрицы A, что указывает на существование хотя бы одного решения.
4. Если же ранг A меньше ранга [A|b], это указывает на то, что вектор b не может быть представлен как линейная комбинация строк матрицы A, и, следовательно, система не имеет решений.
5. Если ранг A равен рангу [A|b] и меньше числа переменных, это говорит о том, что система имеет бесконечно много решений, так как есть свободные переменные.

Таким образом, критерий Кронекера-Капелли предоставляет мощный инструмент для анализа совместности систем линейных уравнений и помогает в нахождении их решений.