Скалярное произведение векторов – это важная операция в линейной алгебре, которая позволяет вычислять различные характеристики векторов, такие как угол между ними и длину. Давайте подробно рассмотрим, что такое скалярное произведение, как оно работает для векторов, лежащих на одной прямой, а также его свойства и применение в ортонормированном базисе.

1. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов u и v, обозначаемое как (u, v), определяется как произведение их длин на косинус угла между ними:

• (u, v) = ||u|| * ||v|| * cos(θ),

где θ – угол между векторами u и v, а ||u|| и ||v|| – длины векторов u и v соответственно.

2. Векторы на одной прямой

Если векторы u и v лежат на одной прямой, то угол θ между ними равен 0 или 180 градусов. В этом случае:

• Если θ = 0, то cos(θ) = 1, и (u, v) = ||u|| * ||v||.
• Если θ = 180, то cos(θ) = -1, и (u, v) = -||u|| * ||v||.

3. Вывод равенства (u, v) = (PrLu, v)

Где PrL – проекция вектора u на прямую L, на которой лежит вектор v. Проекция вектора u на вектор v вычисляется по формуле:

• PrL(u) = (u, v) / (v, v) * v.

Подставляя это в выражение, получаем:

• (PrLu, v) = ((u, v) / (v, v) * v, v) = (u, v) / (v, v) * (v, v) = (u, v).

Таким образом, мы показали, что скалярное произведение вектора u и вектора v равно скалярному произведению проекции вектора u на прямую L и вектора v.

4. Свойства линейности скалярного произведения

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

• Линейность по первому аргументу: (au + bv, w) = a(u, w) + b(v, w), где a и b – скаляры, u, v и w – векторы.
• Симметричность: (u, v) = (v, u).
• Положительная определенность: (u, u) ≥ 0, и (u, u) = 0 только тогда, когда u = 0.

5. Выражение скалярного произведения в ортонормированном базисе

В ортонормированном базисе векторы имеют длину 1 и перпендикулярны друг другу. Если e1, e2, ..., en – ортонормированный базис, то скалярное произведение векторов u и v может быть выражено как:

• (u, v) = u1 * v1 + u2 * v2 + ... + un * vn,

где ui и vi – компоненты векторов u и v по базису соответственно.

6. Длины векторов и углы между векторами

Длина вектора u вычисляется как:

• ||u|| = sqrt((u, u)).

Угол между векторами u и v можно найти, используя формулу:

• cos(θ) = (u, v) / (||u|| * ||v||).

Таким образом, мы можем находить длины векторов и углы между ними, используя свойства скалярного произведения.