Похожие вопросы
2025-08-24 02:27:34
Сколько точек экстремума имеет функция нескольких переменных z=lnx+x2y+y2?
- три
- одну
- две
- четыре
- ни одной
Другие предметы Университет Экстремумы функций нескольких переменных функция нескольких переменных точки экстремума математика для экономистов производные функции экономические модели анализ функций университетская математика оптимизация функций Новый
2025-08-24 02:27:46
Для того чтобы определить количество точек экстремума функции нескольких переменных, необходимо выполнить несколько шагов. Рассмотрим функцию z = ln(x) + x^2 * y + y^2.
Шаг 1: Найдем частные производные.
- Частная производная по x:
- Частная производная по y:
∂z/∂x = 1/x + 2xy
∂z/∂y = x^2 + 2y
Шаг 2: Найдем критические точки.
Критические точки находятся, когда обе частные производные равны нулю:
- 1/x + 2xy = 0
- x^2 + 2y = 0
Решим систему уравнений:
- Из второго уравнения выразим y:
- Подставим это значение в первое уравнение:
y = -x^2 / 2
1/x + 2x(-x^2/2) = 0
1/x - x^3 = 0
1 = x^4
x = 1 (поскольку x > 0, так как ln(x) определен только для положительных x)
Теперь подставим x = 1 в уравнение для y:
y = -1^2 / 2 = -1/2.
Таким образом, у нас есть одна критическая точка: (1, -1/2).
Шаг 3: Определим тип критической точки.
Для этого нужно вычислить вторые производные и составить матрицу Гессе:
- ∂²z/∂x² = -1/x² + 2y
- ∂²z/∂y² = 2
- ∂²z/∂x∂y = 2x
Подставим в матрицу Гессе значение (1, -1/2):
- ∂²z/∂x² = -1 + 2*(-1/2) = -2
- ∂²z/∂y² = 2
- ∂²z/∂x∂y = 2*1 = 2
Составим матрицу Гессе:
H = | -2 2 |
| 2 2 |
Теперь найдем определитель матрицы Гессе:
det(H) = (-2)*2 - (2)*(2) = -4 - 4 = -8.
Поскольку определитель отрицательный, это означает, что в данной точке (1, -1/2) находится седловая точка, а не экстремум.
Вывод:
Таким образом, функция z = ln(x) + x^2 * y + y^2 имеет 0 точек экстремума.
