Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые, нужно выполнить следующие шаги:
1. **Определение направляющего вектора прямой**:
Обе данные прямые имеют одинаковые направляющие векторы, так как они параллельны. Направляющий вектор можно найти из уравнений прямых в параметрической форме. Из уравнений (x − 2) / 3 = (y + 1) / 2 = (z − 3) / −2 и (x − 1) / 3 = (y − 2) / 2 = (z + 3) / −2 видно, что направляющий вектор будет (3, 2, -2).
2. **Определение точек на прямых**:
Для первой прямой, положив параметр равным нулю, получаем точку A(2, -1, 3).
Для второй прямой, положив параметр равным нулю, получаем точку B(1, 2, -3).
3. **Вектор между точками на прямых**:
Найдем вектор AB, соединяющий точки A и B:
AB = B - A = (1 - 2, 2 + 1, -3 - 3) = (-1, 3, -6).
4. **Построение нормального вектора плоскости**:
Нормальный вектор плоскости можно получить как векторное произведение направляющего вектора прямой (3, 2, -2) и вектора AB (-1, 3, -6).
Векторное произведение вычисляется следующим образом:
- i-компонента: (2 * -6) - (-2 * 3) = -12 + 6 = -6
- j-компонента: -((3 * -6) - (-2 * -1)) = -(-18 - 2) = 20
- k-компонента: (3 * 3) - (2 * -1) = 9 + 2 = 11
Таким образом, нормальный вектор плоскости: (-6, 20, 11).
5. **Составление уравнения плоскости**:
Уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - компоненты нормального вектора. Подставим координаты одной из точек (например, A(2, -1, 3)) в уравнение, чтобы найти D:
-6(2) + 20(-1) + 11(3) + D = 0
-12 - 20 + 33 + D = 0
1 + D = 0
D = -1
Таким образом, уравнение плоскости: -6x + 20y + 11z - 1 = 0.
6. **Проверка вариантов**:
Приведем уравнение к стандартной форме, домножив на -1 для удобства:
6x - 20y - 11z + 1 = 0.
Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через данные параллельные прямые, будет 6x - 20y - 11z + 1 = 0.
