Похожие вопросы
2025-03-01 15:29:01
Укажите общее решение уравнения y' - y / (x + 2) = x⁴(x + 2)
Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения первого порядка математический анализ уравнение общее решение Дифференциальные уравнения университет y' x + 2 x4
2025-07-19 11:43:00
Чтобы найти общее решение данного дифференциального уравнения, начнем с его анализа. Уравнение имеет вид:
y' - y / (x + 2) = x⁴(x + 2)
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно привести к стандартной форме:
y' + P(x)y = Q(x)
В нашем случае:
- P(x) = -1/(x + 2)
- Q(x) = x⁴(x + 2)
Для решения этого уравнения используем метод интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель μ(x) определяется как:
μ(x) = exp(∫P(x) dx)
Вычислим интеграл от P(x):
∫P(x) dx = ∫(-1/(x + 2)) dx = -ln|x + 2|
Следовательно, интегрирующий множитель будет равен:
μ(x) = exp(-ln|x + 2|) = 1/|x + 2|
Теперь умножим все уравнение на интегрирующий множитель:
(1/|x + 2|)y' - (1/|x + 2|²)y = (1/|x + 2|)x⁴(x + 2)
Упростим правую часть:
(1/|x + 2|)x⁴(x + 2) = x⁴
Уравнение принимает вид:
(1/|x + 2|)y' - (1/|x + 2|²)y = x⁴
Заметим, что левая часть уравнения теперь представляет собой производную произведения:
d/dx[(1/|x + 2|)y] = x⁴
Интегрируем обе части уравнения по x:
(1/|x + 2|)y = ∫x⁴ dx
Вычислим интеграл правой части:
∫x⁴ dx = (1/5)x⁵ + C, где C - произвольная постоянная интегрирования.
Теперь выразим y:
y = |x + 2|((1/5)x⁵ + C)
Это и будет общее решение уравнения:
y = (1/5)|x + 2|x⁵ + C|x + 2|
Таким образом, мы нашли общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка.
