В урне находится шар неизвестного цвета (равновероятно черный или белый). Туда добавили черный шар после чего наудачу выбранный в урне шар оказался черным. Тогда вероятность того, что первоначально в урне находился белый шар...

Другие предметы Университет Условная вероятность дополнительные главы математики вероятность чёрный шар белый шар университетская математика теорія вероятностей задачи по математике статистика комбинаторика анализ вероятностей Новый

Давайте решим эту задачу, используя теорию вероятностей. Мы будем использовать правило Байеса для нахождения искомой вероятности.

Обозначим события:

• A: в урне изначально был белый шар.
• B: выбранный шар оказался черным.

Нам нужно найти вероятность события A при условии B, то есть P(A|B). По формуле Байеса это можно записать так:

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)

Теперь найдем каждую из этих вероятностей:

1. P(A): вероятность того, что изначально в урне был белый шар. Поскольку шар равновероятно черный или белый, то P(A) = 1/2.
2. P(B|A): вероятность того, что выбранный шар черный, если изначально в урне был белый шар. В этом случае, после добавления черного шара, в урне будет один белый и один черный шар, то есть вероятность выбрать черный шар будет 1/2. Следовательно, P(B|A) = 1/2.
3. P(B): вероятность того, что выбранный шар черный. Это событие может произойти в двух случаях:
   • Если изначально в урне был черный шар (с вероятностью 1/2), то после добавления еще одного черного шара вероятность выбрать черный шар будет 1.
   • Если изначально в урне был белый шар (с вероятностью 1/2), то вероятность выбрать черный шар будет 1/2.
   Таким образом, мы можем вычислить P(B) как: P(B) = P(B|черный) * P(черный) + P(B|белый) * P(белый) P(B) = 1 * 1/2 + 1/2 * 1/2 = 1/2 + 1/4 = 3/4.

Теперь подставим все найденные значения в формулу Байеса:

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B) = (1/2 * 1/2) / (3/4) = (1/4) / (3/4) = 1/3.

Таким образом, вероятность того, что изначально в урне находился белый шар, равна 1/3.