Вдвух урнах, содержащих белые и черные шары, одинаковое количество шаров. Вероятность вытянуть белый шар из первой урны равна 0.46 , а из второй - 0.3. Из наудачу выбранной урны наудачу вытягивают шар, который оказывается черным. Найти вероятность того, что этот шар из первой урны.

Другие предметы Университет Условная вероятность теория вероятностей математическая статистика вероятность чёрный шар белый шар Урна условная вероятность статистические задачи университетская математика вероятностные модели Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать теорему Байеса. Давайте обозначим события:

• A1: шар выбран из первой урны.
• A2: шар выбран из второй урны.
• B: вытянутый шар черный.

Нам нужно найти вероятность того, что шар был вытянут из первой урны при условии, что вытянутый шар черный, то есть P(A1 | B).

Согласно теореме Байеса, мы можем выразить эту вероятность следующим образом:

P(A1 | B) = (P(B | A1) * P(A1)) / P(B)

Теперь нам нужно определить каждую из этих вероятностей:

1. P(A1) и P(A2): Поскольку урны выбираются наудачу, вероятность выбрать любую из них равна 0.5. То есть:
• P(A1) = 0.5
• P(A2) = 0.5
2. P(B | A1): Это вероятность того, что шар черный, если он был выбран из первой урны. Если вероятность вытянуть белый шар из первой урны равна 0.46, то вероятность вытянуть черный шар будет:
• P(B | A1) = 1 - P(белый | A1) = 1 - 0.46 = 0.54
3. P(B | A2): Аналогично, если вероятность вытянуть белый шар из второй урны равна 0.3, то вероятность вытянуть черный шар будет:
• P(B | A2) = 1 - P(белый | A2) = 1 - 0.3 = 0.7
4. P(B): Это полная вероятность вытянуть черный шар. Она рассчитывается по формуле полной вероятности:

P(B) = P(B | A1) * P(A1) + P(B | A2) * P(A2)

• P(B) = (0.54 * 0.5) + (0.7 * 0.5) = 0.27 + 0.35 = 0.62

Теперь мы можем подставить все найденные значения в формулу Байеса:

P(A1 | B) = (P(B | A1) * P(A1)) / P(B)

Подставим значения:

P(A1 | B) = (0.54 * 0.5) / 0.62 = 0.27 / 0.62

Теперь вычислим это значение:

P(A1 | B) ≈ 0.4355

Таким образом, вероятность того, что черный шар был вытянут из первой урны, составляет примерно 0.4355 или 43.55%.