Вопрос: Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения f(x) = 0.In (2x) - 2 + x = 0

Другие предметы Университет Метод Ньютона для нахождения корней уравнений метод Ньютона вычислительные методы корень уравнения погрешность 0.01 f(x) = 0 численные методы решение уравнений университет математический анализ Новый

Для решения уравнения f(x) = 0 методом Ньютона, начнем с определения функции и её производной. У нас есть:

f(x) = ln(2x) - 2 + x

Теперь найдем производную этой функции:

f'(x) = (1/(2x) * 2) + 1 = 1/x + 1

Теперь, чтобы применить метод Ньютона, нам нужно выбрать начальное приближение x0. Для этого можно взять значение, которое, по вашему мнению, близко к корню. Например, мы можем взять x0 = 1.

Теперь применим итерационную формулу метода Ньютона:

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Теперь будем итеративно вычислять значения x, пока не достигнем желаемой погрешности (не превышающей 0.01).

1. Итерация 1:
• x0 = 1
• f(1) = ln(2*1) - 2 + 1 = ln(2) - 1 ≈ -0.307
• f'(1) = 1/1 + 1 = 2
• x1 = 1 - (-0.307) / 2 ≈ 1.1535
2. Итерация 2:
• x1 ≈ 1.1535
• f(1.1535) = ln(2*1.1535) - 2 + 1.1535 ≈ -0.059
• f'(1.1535) = 1/1.1535 + 1 ≈ 1.866
• x2 = 1.1535 - (-0.059) / 1.866 ≈ 1.1717
3. Итерация 3:
• x2 ≈ 1.1717
• f(1.1717) = ln(2*1.1717) - 2 + 1.1717 ≈ -0.007
• f'(1.1717) = 1/1.1717 + 1 ≈ 1.853
• x3 = 1.1717 - (-0.007) / 1.853 ≈ 1.1723
4. Итерация 4:
• x3 ≈ 1.1723
• f(1.1723) ≈ 0.0002
• f'(1.1723) ≈ 1.853
• x4 = 1.1723 - 0.0002 / 1.853 ≈ 1.1723

Теперь проверим, насколько изменилось значение x:

|x4 - x3| = |1.1723 - 1.1723| < 0.01

Так как изменение меньше 0.01, мы можем остановиться. Таким образом, корень уравнения f(x) = 0, найденный методом Ньютона, равен:

x ≈ 1.1723