Всякий вектор на плоскости можно выразить в виде линейной комбинации любых двух … векторов

Другие предметы Университет Линейная алгебра вектор на плоскости линейная комбинация любые два вектора математика университет Новый

Для того чтобы выразить любой вектор на плоскости в виде линейной комбинации двух других векторов, эти два вектора должны быть линейно независимыми. Давайте разберемся, что это значит и как это работает.

На плоскости векторы обычно представляются в виде пар чисел, например, (x, y). Два вектора на плоскости, например, v1 = (x1, y1) и v2 = (x2, y2), называются линейно независимыми, если они не лежат на одной прямой, то есть один из них не является скалярным произведением другого. Это можно проверить с помощью следующего условия:

• Определитель из координат векторов v1 и v2 не равен нулю: x1 * y2 - y1 * x2 ≠ 0.

Если это условие выполняется, то любой вектор v = (x, y) на плоскости можно выразить в виде линейной комбинации векторов v1 и v2. Это означает, что существуют такие числа (коэффициенты) a и b, что:

v = a * v1 + b * v2

Давайте рассмотрим пример:

1. Пусть у нас есть векторы v1 = (1, 2) и v2 = (3, 1). Проверим их линейную независимость: 1 * 1 - 2 * 3 = 1 - 6 = -5, что не равно нулю. Значит, они линейно независимы.
2. Теперь возьмем вектор v = (4, 5) и найдем коэффициенты a и b такие, что v = a * v1 + b * v2.
3. Запишем уравнения для координат:
   • x: 4 = a * 1 + b * 3
   • y: 5 = a * 2 + b * 1
4. Решим систему уравнений:
   • Из первого уравнения: a + 3b = 4
   • Из второго уравнения: 2a + b = 5
5. Умножим первое уравнение на 2: 2a + 6b = 8
6. Вычтем второе уравнение из умноженного первого: (2a + 6b) - (2a + b) = 8 - 5, получаем 5b = 3, отсюда b = 3/5
7. Подставим b = 3/5 в первое уравнение: a + 3*(3/5) = 4, отсюда a = 4 - 9/5 = 11/5

Таким образом, вектор v = (4, 5) можно выразить как линейную комбинацию векторов v1 и v2: v = (11/5) * v1 + (3/5) * v2.

Таким образом, любой вектор на плоскости можно выразить в виде линейной комбинации любых двух линейно независимых векторов.