Похожие вопросы
2025-02-21 15:53:58
Вычислить коэффициент при x12 y8 z10 в разложении (3x3 + 2y2 + 7z5 )10 .
Другие предметы Университет Комбинаторика дискретная математика университет коэффициент разложение биномиальная теорема алгебра комбинаторика задачи примеры обучение
2025-07-19 08:45:05
Чтобы вычислить коэффициент при x12y8z10 в разложении (3x3 + 2y2 + 7z5)10, мы используем метод многомерного бинома. Разложение выражения (a + b + c)n можно представить в виде суммы множителей, где каждый член имеет вид:
- C(n, k1, k2, k3) * ak1 * bk2 * ck3
где k1 + k2 + k3 = n, а C(n, k1, k2, k3) — это мультиномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:
- C(n, k1, k2, k3) = n! / (k1! * k2! * k3!)
Теперь применим это к нашему выражению (3x3 + 2y2 + 7z5)10:
- Нам нужно найти такие k1, k2 и k3, чтобы выполнялось: 3k1 = 12, 2k2 = 8, 5k3 = 10.
- Решим каждое из уравнений для k1, k2 и k3:
- 3k1 = 12 => k1 = 4
- 2k2 = 8 => k2 = 4
- 5k3 = 10 => k3 = 2
- Убедимся, что сумма k1 + k2 + k3 равна 10:
- k1 + k2 + k3 = 4 + 4 + 2 = 10
- Вычислим мультиномиальный коэффициент C(10, 4, 4, 2):
- C(10, 4, 4, 2) = 10! / (4! * 4! * 2!)
- 10! = 3628800
- 4! = 24
- 2! = 2
- C(10, 4, 4, 2) = 3628800 / (24 * 24 * 2) = 10395
- Теперь найдем коэффициент, умножив мультиномиальный коэффициент на соответствующие степени членов:
- (3x3)4 = 34 * x12 = 81x12
- (2y2)4 = 24 * y8 = 16y8
- (7z5)2 = 72 * z10 = 49z10
- Перемножим все найденные значения:
- Коэффициент = 10395 * 81 * 16 * 49
- Коэффициент = 65610060
Таким образом, коэффициент при x12y8z10 в разложении (3x3 + 2y2 + 7z5)10 равен 65610060.
