Похожие вопросы
2025-08-27 14:26:38
Вычислите предел функции f (x) = x sin 1/x при x → 0
- ∞
- 0
- не существует
- 1
Другие предметы Университет Пределы функций предел функции математика университет x sin 1/x вычисление предела предел при x → 0 анализ функции
2025-08-27 14:26:47
Чтобы вычислить предел функции f(x) = x * sin(1/x) при x стремящемся к 0, давайте разберем эту функцию по шагам.
1. **Определение предела**: Мы хотим найти lim (x → 0) f(x) = lim (x → 0) (x * sin(1/x)). Поскольку sin(1/x) колеблется между -1 и 1, мы должны учитывать это при анализе предела.
2. **Ограничение функции**: Мы знаем, что для любого x, sin(1/x) находится в пределах от -1 до 1. Это значит, что:
- -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1
3. **Умножение на x**: Умножим все части неравенства на x (при x, стремящемся к 0, x будет положительным, поэтому знак неравенства не изменится):
- -x ≤ x * sin(1/x) ≤ x
4. **Пределы краевых значений**: Теперь мы можем взять пределы для -x и x, когда x стремится к 0:
- lim (x → 0) -x = 0
- lim (x → 0) x = 0
5. **Применение теоремы о предельных значениях**: Поскольку x * sin(1/x) ограничена между -x и x, и оба предела равны 0, по теореме о предельных значениях, мы можем заключить:
- lim (x → 0) (x * sin(1/x)) = 0
Таким образом, предел функции f(x) = x * sin(1/x) при x → 0 равен 0.
Ответ: Предел существует и равен 0.