Вычислите предел по правилу Лопиталя

Другие предметы Университет Пределы функций предел правило Лопиталя математика университет вычисление предела Новый

Чтобы вычислить предел с помощью правила Лопиталя, необходимо следовать определённым шагам. Рассмотрим общий случай, когда у нас есть предел вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Вот пошаговое руководство:

1. Определите предел: Сначала нужно определить предел функции, который вы хотите вычислить. Например, пусть у нас есть предел вида:

lim (x -> a) f(x) / g(x)

2. Проверьте форму: Подставьте значение a в функции f(x) и g(x). Если результатом будет 0/0 или бесконечность/бесконечность, то можно применять правило Лопиталя.
3. Найдите производные: Вычислите производные числителя и знаменателя. То есть, найдите f'(x) и g'(x).
4. Примените правило Лопиталя: Замените предел исходной функции пределом отношения производных:

lim (x -> a) f(x) / g(x) = lim (x -> a) f'(x) / g'(x)

5. Повторите при необходимости: Если после применения правила Лопиталя вы снова получили форму 0/0 или бесконечность/бесконечность, вы можете снова применить правило Лопиталя, вычислив производные ещё раз.
6. Вычислите предел: После применения правила Лопиталя, подставьте значение a в новое выражение f'(x) / g'(x) и найдите предел.

Теперь давайте рассмотрим конкретный пример:

Рассмотрим предел:

lim (x -> 0) (sin(x) / x)

1. Подставляем x = 0: sin(0) / 0 = 0/0. Это форма 0/0.
2. Находим производные: f(x) = sin(x), g(x) = x. f'(x) = cos(x), g'(x) = 1.
3. Применяем правило Лопиталя: lim (x -> 0) (sin(x) / x) = lim (x -> 0) (cos(x) / 1).
4. Теперь подставляем x = 0: cos(0) / 1 = 1.

Таким образом, предел lim (x -> 0) (sin(x) / x) равен 1.

Если у вас есть конкретный предел, который вы хотите вычислить, пожалуйста, напишите его, и я помогу вам с решением!