99 баллов! Дал бы больше, но нельзя. Боковая поверхность правильной треугольной призмы равна 6. Какова высота призмы, если прямая, проходящая через центр верхнего основания и середину стороны нижнего основания, наклонена к плоскости основания под углом 60°?

Геометрия 10 класс Правильные призмы правильная треугольная призма боковая поверхность высота призмы угол наклона геометрия треугольник площадь боковой поверхности математические задачи Новый

Чтобы решить эту задачу, начнем с анализа данных, которые нам даны.

• Боковая поверхность правильной треугольной призмы равна 6.
• Прямая, проходящая через центр верхнего основания и середину стороны нижнего основания, наклонена к плоскости основания под углом 60°.

Сначала найдем высоту призмы. Боковая поверхность правильной треугольной призмы можно выразить через периметр основания и высоту призмы:

Формула боковой поверхности призмы:

П = Периметр основания * Высота

Правильная треугольная призма имеет треугольное основание, где все стороны равны. Обозначим длину стороны треугольника как a. Периметр правильного треугольника равен:

P = 3a

Тогда боковая поверхность призмы будет равна:

Боковая поверхность = P * h = 3a * h = 6

Из этого уравнения можно выразить h:

h = 6 / (3a) = 2 / a

Теперь нам нужно найти a. Для этого обратим внимание на наклоненную прямую. Она проходит через центр верхнего основания и середину стороны нижнего основания, и угол наклона к плоскости основания равен 60°.

Если мы представим треугольник, образованный высотой призмы и наклоненной прямой, то можем использовать тригонометрию. Угол 60° позволяет нам использовать соотношение:

Тангенс угла наклона:

tan(60°) = h / (a / 2)

Так как tan(60°) = √3, мы можем записать уравнение:

√3 = h / (a / 2)

Отсюда выражаем h:

h = √3 * (a / 2) = (√3 * a) / 2

Теперь у нас есть два выражения для h:

• h = 2 / a
• h = (√3 * a) / 2

Приравняем эти два выражения:

2 / a = (√3 * a) / 2

Умножим обе стороны на 2a, чтобы избавиться от дробей:

4 = √3 * a²

Теперь выразим a²:

a² = 4 / √3

Теперь подставим a² обратно в одно из уравнений для h. Используем h = 2 / a:

Сначала найдем a:

a = √(4 / √3) = 2 / √(√3) = 2√3 / 3

Теперь подставим a в h:

h = 2 / (2√3 / 3) = 3 / √3 = √3

Таким образом, высота призмы равна:

h = √3