Как можно найти длину медианы, которая проведена к третьей стороне треугольника, если две его стороны равны 8 см и 15 см, а угол между ними равен 120°?

Геометрия 10 класс Медианы треугольника длина медианы треугольник стороны треугольника угол треугольника формула медианы геометрия решение задачи

Для нахождения длины медианы, проведенной к третьей стороне треугольника, мы можем воспользоваться формулой, основанной на длиннах сторон треугольника и угле между ними. В данном случае у нас есть две стороны треугольника: одна равна 8 см, другая — 15 см, а угол между ними составляет 120°. Следует выполнить следующие шаги:

1. Найти длину третьей стороны треугольника. Для этого воспользуемся теоремой косинусов, которая позволяет вычислить длину стороны треугольника, если известны две другие стороны и угол между ними. Формула выглядит следующим образом:
• c² = a² + b² - 2ab * cos(γ),

где:

• c — длина искомой стороны (третьей стороны),
• a = 8 см — первая сторона,
• b = 15 см — вторая сторона,
• γ = 120° — угол между сторонами a и b.

Подставим известные значения:

• c² = 8² + 15² - 2 * 8 * 15 * cos(120°).

Значение cos(120°) равно -0.5, поэтому:

• c² = 64 + 225 + 2 * 8 * 15 * 0.5.
• c² = 64 + 225 + 120.
• c² = 409.
• c = √409.
2. Найти длину медианы. Теперь, когда мы знаем длину третьей стороны, мы можем найти длину медианы, проведенной к этой стороне. Формула для нахождения длины медианы m к стороне c выглядит следующим образом:
• m = 1/2 * √(2a² + 2b² - c²),

где:

• a = 8 см,
• b = 15 см,
• c = √409.

Подставим известные значения в формулу:

• m = 1/2 * √(2 * 8² + 2 * 15² - (√409)²).
• m = 1/2 * √(2 * 64 + 2 * 225 - 409).
• m = 1/2 * √(128 + 450 - 409).
• m = 1/2 * √(169).
• m = 1/2 * 13.
• m = 6.5 см.

Таким образом, длина медианы, проведенной к третьей стороне треугольника, составляет 6.5 см.

Чтобы найти длину медианы, проведенной к третьей стороне треугольника, мы можем воспользоваться формулой, которая связывает длину медианы с длинами сторон треугольника и углом между ними. Давайте разберем решение шаг за шагом.

Обозначим стороны треугольника:

• Сторона a = 8 см
• Сторона b = 15 см
• Угол между ними α = 120°

Сначала мы найдем длину третьей стороны c, используя закон косинусов:

Формула закона косинусов:

c² = a² + b² - 2ab * cos(α)

Теперь подставим известные значения:

• a = 8 см
• b = 15 см
• α = 120°

Сначала вычислим cos(120°). Мы знаем, что cos(120°) = -0.5. Теперь подставим это значение в формулу:

c² = 8² + 15² - 2 * 8 * 15 * (-0.5)

c² = 64 + 225 + 120

c² = 409

c = √409

Теперь, чтобы найти длину медианы m, проведенной к стороне c, используем следующую формулу:

Формула медианы:

m = 1/2 * √(2a² + 2b² - c²)

Подставим известные значения:

• a = 8 см
• b = 15 см
• c = √409

Теперь подставим в формулу медианы:

m = 1/2 * √(2 * 8² + 2 * 15² - (√409)²)

m = 1/2 * √(2 * 64 + 2 * 225 - 409)

m = 1/2 * √(128 + 450 - 409)

m = 1/2 * √(169)

m = 1/2 * 13

m = 6.5 см

Таким образом, длина медианы, проведенной к третьей стороне треугольника, составляет 6.5 см.