В треугольнике ABC сторона AB равна 12 см, сторона BC равна 16 см. Медианы треугольника AA1 и CC1 пересекаются под углом 90 градусов. Какова длина стороны AC? В ответе укажите AC корень из 5.

Геометрия 10 класс Медианы треугольника геометрия треугольник ABC медианы длина стороны AC угол 90 градусов задача 10 класс геометрические свойства решение задач Новый

Решим задачу о нахождении длины стороны AC в треугольнике ABC, где известны длины сторон AB и BC, а также угол между медианами AA1 и CC1, равный 90 градусов.

Обозначим:

• длину медианы AA1 как a;
• длину медианы CC1 как c;

Точка O – это точка пересечения медиан, и она делит каждую из медиан в отношении 2:1. Это значит, что:

• СО = (2/3) * c;
• ОС1 = (1/3) * c;
• АО = (2/3) * a;
• ОА1 = (1/3) * a.

Так как медианы пересекаются под прямым углом, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольников AOC1 и C1OA:

1. Для треугольника AOC1:
• СО^2 + OA1^2 = CA1^2,
• где CA1 = BC / 2 = 16 / 2 = 8.

Подставляем значения:

(2/3 * c)^2 + (1/3 * a)^2 = 8^2.

Это уравнение (1).

2. Для треугольника OC1A:
• OC1^2 + OA^2 = AC1^2,
• где AC1 = AB / 2 = 12 / 2 = 6.

Подставляем значения:

(1/3 * c)^2 + (2/3 * a)^2 = 6^2.

Это уравнение (2).

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2), которую мы можем решить:

• Из уравнения (1) находим: a = 4√3, c = 2√33.

Следующий шаг - находим сторону AC. Используя теорему Пифагора:

AC^2 = (2/3 * c)^2 + (2/3 * a)^2.

Подставляем найденные значения:

AC^2 = (2/3)^2 * (c^2 + a^2) = (2/3)^2 * ((2√33)^2 + (4√3)^2) = (2/3)^2 * (132 + 48) = (2/3)^2 * 180.

Решая это, получаем:

AC = √80 = 4√5.

Заключение: Длина стороны AC равна 4√5.