Похожие вопросы
2024-11-21 12:31:50
В треугольнике ABC сторона AB равна 12 см, сторона BC равна 16 см. Медианы треугольника AA1 и CC1 пересекаются под углом 90 градусов. Какова длина стороны AC? В ответе укажите AC корень из 5.
Геометрия 10 класс Медианы треугольника геометрия треугольник ABC медианы длина стороны AC угол 90 градусов задача 10 класс геометрические свойства решение задач
2024-11-21 12:31:50
Решим задачу о нахождении длины стороны AC в треугольнике ABC, где известны длины сторон AB и BC, а также угол между медианами AA1 и CC1, равный 90 градусов.
Обозначим:
- длину медианы AA1 как a;
- длину медианы CC1 как c;
Точка O – это точка пересечения медиан, и она делит каждую из медиан в отношении 2:1. Это значит, что:
- СО = (2/3) * c;
- ОС1 = (1/3) * c;
- АО = (2/3) * a;
- ОА1 = (1/3) * a.
Так как медианы пересекаются под прямым углом, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольников AOC1 и C1OA:
- Для треугольника AOC1:
- СО^2 + OA1^2 = CA1^2,
- где CA1 = BC / 2 = 16 / 2 = 8.
- Для треугольника OC1A:
- OC1^2 + OA^2 = AC1^2,
- где AC1 = AB / 2 = 12 / 2 = 6.
Подставляем значения:
(2/3 * c)^2 + (1/3 * a)^2 = 8^2.
Это уравнение (1).
Подставляем значения:
(1/3 * c)^2 + (2/3 * a)^2 = 6^2.
Это уравнение (2).
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2), которую мы можем решить:
- Из уравнения (1) находим: a = 4√3, c = 2√33.
Следующий шаг - находим сторону AC. Используя теорему Пифагора:
AC^2 = (2/3 * c)^2 + (2/3 * a)^2.
Подставляем найденные значения:
AC^2 = (2/3)^2 * (c^2 + a^2) = (2/3)^2 * ((2√33)^2 + (4√3)^2) = (2/3)^2 * (132 + 48) = (2/3)^2 * 180.
Решая это, получаем:
AC = √80 = 4√5.
Заключение: Длина стороны AC равна 4√5.
