Как решить следующую задачу по геометрии:

В прямоугольном треугольнике АВС угол C равен 90 градусов, гипотенуза AB равна 16 см, угол BAC равен 60 градусов. Как можно найти катеты AC и BC, а также высоту CD, проведённую из вершины прямого угла к гипотенузе?

Геометрия 10 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник угол C гипотенуза AB угол BAC катеты AC катет BC высота CD решение задачи по геометрии Новый

Чтобы решить задачу, давайте сначала вспомним некоторые свойства прямоугольного треугольника и применим их к данной ситуации.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, гипотенуза AB равна 16 см, а угол BAC равен 60 градусов, мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения катетов AC и BC.

Шаг 1: Найдем катет AC.

Катет AC противолежит углу BAC. Мы можем использовать функцию синуса:

sin(угол) = противолежащий катет / гипотенуза.

Таким образом, для нашего случая:

sin(60 градусов) = AC / AB.

Подставляем известные значения:

sin(60 градусов) = AC / 16.

Зная, что sin(60 градусов) = √3/2, мы можем записать:

√3/2 = AC / 16.

Теперь умножим обе стороны уравнения на 16:

AC = 16 * √3/2 = 8√3 см.

Шаг 2: Найдем катет BC.

Катет BC прилежит к углу BAC. Мы можем использовать функцию косинуса:

cos(угол) = прилежащий катет / гипотенуза.

Таким образом, для нашего случая:

cos(60 градусов) = BC / AB.

Зная, что cos(60 градусов) = 1/2, мы можем записать:

1/2 = BC / 16.

Теперь умножим обе стороны уравнения на 16:

BC = 16 * 1/2 = 8 см.

Шаг 3: Найдем высоту CD.

Высота CD, проведенная из вершины C к гипотенузе AB, может быть найдена с использованием формулы для площади прямоугольного треугольника:

Площадь = (1/2) * AC * BC.

Также площадь можно выразить через высоту:

Площадь = (1/2) * AB * CD.

Приравняем обе формулы:

(1/2) * AC * BC = (1/2) * AB * CD.

Подставим известные значения:

(1/2) * (8√3) * 8 = (1/2) * 16 * CD.

Упрощаем:

32√3 = 16 * CD.

Теперь делим обе стороны на 16:

CD = 32√3 / 16 = 2√3 см.

Ответ:

• Катет AC = 8√3 см.
• Катет BC = 8 см.
• Высота CD = 2√3 см.