Какова длина ребра правильной четырёхугольной пирамиды PABCD, если её объём равен 18 см^2 и все рёбра равны между собой?

Геометрия 10 класс Правильные пирамиды длина ребра правильная четырехугольная пирамида объём пирамиды геометрия равные ребра задача по геометрии Новый

Чтобы найти длину ребра правильной четырёхугольной пирамиды PABCD, начнем с формулы объёма пирамиды. Объём V правильной пирамиды можно выразить следующим образом:

V = (1/3) * S * h

где S - площадь основания пирамиды, а h - высота пирамиды.

В данной пирамиде основание является квадратом, так как это правильная четырёхугольная пирамида. Обозначим длину ребра пирамиды как a. Тогда площадь основания S будет равна:

S = a^2

Теперь нам нужно найти высоту h. В правильной пирамиде высота h, опущенная из вершины P на основание ABCD, делит основание на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников:

• гипотенуза равна a (длина ребра);
• одна из катетов равна (a/2) (половина стороны основания);
• высота h является вторым катетом.

Теперь можем использовать теорему Пифагора для нахождения h:

a^2 = h^2 + (a/2)^2

Раскроем скобки:

a^2 = h^2 + a^2 / 4

Теперь выразим h^2:

h^2 = a^2 - a^2 / 4 = (4a^2 - a^2) / 4 = 3a^2 / 4

Теперь подставим h в формулу для объёма:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * a^2 * (sqrt(3a^2 / 4))

Упрощаем это выражение:

V = (1/3) * a^2 * (sqrt(3) * a / 2) = (sqrt(3) * a^3) / 6

Теперь мы знаем, что объём V равен 18 см^3:

(sqrt(3) * a^3) / 6 = 18

Умножим обе стороны на 6:

sqrt(3) * a^3 = 108

Теперь разделим обе стороны на sqrt(3):

a^3 = 108 / sqrt(3)

Чтобы избавиться от корня, умножим числитель и знаменатель на sqrt(3):

a^3 = (108 * sqrt(3)) / 3 = 36 * sqrt(3)

Теперь найдём a:

a = (36 * sqrt(3))^(1/3)

Это можно упростить, но для нахождения численного значения воспользуемся калькулятором:

a ≈ 3.301 см

Таким образом, длина ребра правильной четырёхугольной пирамиды PABCD составляет примерно 3.301 см.