СРОЧНО, 30 баллов, пошагово, с рисунком

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 10 см. Угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 45°. Необходимо вычислить:

1. a) высоту пирамиды
2. b) площадь диагонального сечения
3. c) площадь основания пирамиды.

Геометрия 10 класс Правильные пирамиды правильная четырехугольная пирамида боковое ребро высота пирамиды площадь диагонального сечения площадь основания пирамиды Новый

Давайте разберем задачу по шагам.

Дано:

• Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 10 см.
• Угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 45°.

a) Находим высоту пирамиды:

Для нахождения высоты пирамиды, мы можем использовать треугольник, образованный высотой, боковым ребром и проекцией бокового ребра на основание.

1. Обозначим высоту пирамиды как h.
2. Так как угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°, то в прямоугольном треугольнике, образованном высотой и боковым ребром, мы можем использовать свойства угла 45°.
3. В этом треугольнике высота h равна длине проекции бокового ребра на основание. Поскольку угол 45°, то h = 10 * sin(45°) = 10 * (√2/2) = 5√2 см.

Ответ: Высота пирамиды h = 5√2 см.

b) Находим площадь диагонального сечения:

Диагональное сечение пирамиды проходит через две противоположные вершины основания и вершину пирамиды.

1. В диагональном сечении мы получаем трапецию, где основание равно длине стороны основания (a), а высота равна h.
2. Сначала найдем сторону основания (a) правильной четырехугольной пирамиды. Используя теорему Пифагора в треугольнике, где одна сторона - это половина стороны основания, а другая - высота: h^2 + (a/2)^2 = (10 см)^2
3. Подставляем h: (5√2)^2 + (a/2)^2 = 100
4. Решаем уравнение: 50 + (a/2)^2 = 100
5. Получаем: (a/2)^2 = 50, откуда a/2 = √50 = 5√2, следовательно, a = 10√2 см.
6. Теперь находим площадь диагонального сечения. Площадь трапеции: S = (a + a) * h / 2 = a * h = 10√2 * 5√2 = 100 см².

Ответ: Площадь диагонального сечения S = 100 см².

c) Находим площадь основания пирамиды:

Основание правильной четырехугольной пирамиды является квадратом с длиной стороны a.

1. Площадь квадрата рассчитывается по формуле: S = a^2.
2. Подставляем значение стороны: S = (10√2)^2 = 100 * 2 = 200 см².

Ответ: Площадь основания пирамиды S = 200 см².

Таким образом, мы нашли:

• Высота пирамиды: 5√2 см.
• Площадь диагонального сечения: 100 см².
• Площадь основания пирамиды: 200 см².