Чтобы доказать, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра её основания и апофемы, давайте разберем, что такое правильная пирамида и как вычисляется боковая поверхность.

Определения:

• Правильная пирамида: это пирамида, у которой основание является правильным многоугольником, а все боковые грани — равнобедренные треугольники, которые сходятся в одной точке (вершине пирамиды).
• Апофема: это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды до середины основания бокового ребра.
• Полупериметр: это половина периметра основания. Если основание имеет n сторон, то полупериметр P равен сумме длин всех сторон, деленной на 2.

Шаги доказательства:

1. Рассмотрим правильную пирамиду с основанием, являющимся правильным многоугольником. Обозначим количество сторон основания как n, длину одной стороны как a.
2. Поскольку основание является правильным многоугольником, его периметр будет равен n * a, а полупериметр P будет равен (n * a) / 2.
3. Каждая боковая грань пирамиды — это равнобедренный треугольник с основанием a и высотой, равной апофеме h. Площадь одного такого треугольника можно найти по формуле: S = (1/2) * основание * высота = (1/2) * a * h.
4. Так как у нас n боковых граней, общая площадь боковой поверхности S_b будет равна n * S = n * (1/2) * a * h.
5. Теперь подставим значение a через полупериметр P. Мы знаем, что a = 2P/n. Подставим это значение в формулу для площади боковой поверхности:
6. S_b = n * (1/2) * (2P/n) * h = P * h.
7. Таким образом, мы получили, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания и апофемы: S_b = P * h.

Таким образом, мы доказали, что боковая поверхность правильной пирамиды действительно равна произведению полупериметра её основания и апофемы.