Чтобы найти высоту правильной треугольной пирамиды, нам нужно использовать данные о площади основания и полной поверхности. Давайте разберем решение по шагам.

Площадь основания правильной треугольной пирамиды, которая является равносторонним треугольником, задается формулой:

S = (a^2 * √3) / 4, где a — длина стороны треугольника.

У нас есть площадь основания:

S = 27√3.

Теперь мы можем приравнять это значение к формуле и найти сторону основания:

(a^2 * √3) / 4 = 27√3.

• Умножим обе стороны на 4:
• a^2 * √3 = 108√3.
• Теперь разделим обе стороны на √3:
• a^2 = 108.
• Теперь найдем a:
• a = √108 = 6√3.

Полная поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из площади основания и трех равных треугольных боковых граней. Площадь боковой грани можно найти по формуле:

Sбок = (a * hбок) / 2, где hбок — высота боковой грани.

Площадь боковой грани равностороннего треугольника будет:

Sбок = (a * hбок) / 2.

Общая площадь боковых граней:

Sбок.общ = 3 * (a * hбок) / 2.

Теперь полная поверхность пирамиды равна:

Sпол = S + Sбок.общ = S + 3 * (a * hбок) / 2.

У нас есть полная поверхность:

Sпол = 72√3.

Подставим известные значения:

72√3 = 27√3 + 3 * (6√3 * hбок) / 2.

• Переносим 27√3 на другую сторону:
• 72√3 - 27√3 = 3 * (6√3 * hбок) / 2,
• 45√3 = 3 * (6√3 * hбок) / 2.
• Умножаем обе стороны на 2:
• 90√3 = 3 * 6√3 * hбок,
• Делим обе стороны на 18√3:
• hбок = 90 / 18 = 5.

Теперь, зная высоту боковой грани, мы можем найти высоту пирамиды. В правильной треугольной пирамиде высота h и высота боковой грани hбок связаны следующим образом:

hбок^2 = h^2 + (a/2)^2.

Подставим известные значения:

5^2 = h^2 + (6√3 / 2)^2.

25 = h^2 + (3√3)^2,

25 = h^2 + 27.

Теперь решим для h^2:

h^2 = 25 - 27 = -2.

Поскольку высота не может быть отрицательной, это указывает на ошибку в расчетах. Проверьте, правильно ли были использованы формулы и подставлены значения.

В итоге, высота правильной треугольной пирамиды равна h, которую мы можем найти, если пересчитаем значения. Важно помнить, что h всегда должна быть положительной.