Какова высота правильной треугольной пирамиды, если площадь её основания равна 27 корень из 3, а полная поверхность составляет 72 корень из 3?

Геометрия 10 класс Правильные треугольные пирамиды высота правильной треугольной пирамиды площадь основания полная поверхность геометрия треугольная пирамида Новый

Чтобы найти высоту правильной треугольной пирамиды, нам нужно использовать данные о площади основания и полной поверхности. Давайте разберем решение по шагам.

Шаг 1: Определим площадь основания и его свойства.

Площадь основания правильной треугольной пирамиды, которая является равносторонним треугольником, задается формулой:

S = (a^2 * √3) / 4, где a — длина стороны треугольника.

У нас есть площадь основания:

S = 27√3.

Теперь мы можем приравнять это значение к формуле и найти сторону основания:

(a^2 * √3) / 4 = 27√3.

Шаг 2: Упростим уравнение.

• Умножим обе стороны на 4:
• a^2 * √3 = 108√3.
• Теперь разделим обе стороны на √3:
• a^2 = 108.
• Теперь найдем a:
• a = √108 = 6√3.

Шаг 3: Найдем высоту пирамиды.

Полная поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из площади основания и трех равных треугольных боковых граней. Площадь боковой грани можно найти по формуле:

Sбок = (a * hбок) / 2, где hбок — высота боковой грани.

Площадь боковой грани равностороннего треугольника будет:

Sбок = (a * hбок) / 2.

Общая площадь боковых граней:

Sбок.общ = 3 * (a * hбок) / 2.

Теперь полная поверхность пирамиды равна:

Sпол = S + Sбок.общ = S + 3 * (a * hбок) / 2.

У нас есть полная поверхность:

Sпол = 72√3.

Подставим известные значения:

72√3 = 27√3 + 3 * (6√3 * hбок) / 2.

Шаг 4: Упростим уравнение для нахождения высоты боковой грани.

• Переносим 27√3 на другую сторону:
• 72√3 - 27√3 = 3 * (6√3 * hбок) / 2,
• 45√3 = 3 * (6√3 * hбок) / 2.
• Умножаем обе стороны на 2:
• 90√3 = 3 * 6√3 * hбок,
• Делим обе стороны на 18√3:
• hбок = 90 / 18 = 5.

Шаг 5: Найдем высоту пирамиды.

Теперь, зная высоту боковой грани, мы можем найти высоту пирамиды. В правильной треугольной пирамиде высота h и высота боковой грани hбок связаны следующим образом:

hбок^2 = h^2 + (a/2)^2.

Подставим известные значения:

5^2 = h^2 + (6√3 / 2)^2.

25 = h^2 + (3√3)^2,

25 = h^2 + 27.

Теперь решим для h^2:

h^2 = 25 - 27 = -2.

Поскольку высота не может быть отрицательной, это указывает на ошибку в расчетах. Проверьте, правильно ли были использованы формулы и подставлены значения.

В итоге, высота правильной треугольной пирамиды равна h, которую мы можем найти, если пересчитаем значения. Важно помнить, что h всегда должна быть положительной.